[論文レビュー] Arithmetic and geometric deformations of $F$-pure and $F$-regular singularities

Kenta Sato, Shunsuke Takagi|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 39被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、混合特徴値における $F$-純および $F$-正則特異点について、算術的および幾何的変形定理を確立する。もし平坦な族の1つのファイバーが $F$-純または強く $F$-正則な特異点を持つならば、その一般ファイバーはそれぞれ対応して対数正則またはklt特異点を持つことが示され、$\rQ$-ゴレンシュタイン全体空間の仮定を課さないままでも成り立つ。これは、線形的に再帰的商特異点の変形に関する予想を解決する。

ABSTRACT

Given a normal $\mathbb{Q}$-Gorenstein complex variety $X$, we prove that if one spreads it out to a normal $\mathbb{Q}$-Gorenstein scheme $\mathcal{X}$ of mixed characteristic whose reduction $\mathcal{X}_p$ modulo $p$ has normal $F$-pure singularities for a single prime $p$, then $X$ has log canonical singularities. In addition, we show its analog for log terminal singularities, without assuming that $\mathcal{X}$ is $\mathbb{Q}$-Gorenstein, which is a generalization of a result of Ma-Schwede. We also prove that two-dimensional strongly $F$-regular singularities are stable under equal characteristic deformations. Our results give an affirmative answer to a conjecture of Liedtke-Martin-Matsumoto on deformations of linearly reductive quotient singularities.

研究の動機と目的

• Ma-Schwedeの $F$-正則特異点が $\rQ$-ゴレンシュタイン全体空間からklt特異点に変形する結果を、一般の正則スキームへ一般化すること。
• 全体空間が $\rQ$-ゴレンシュタインでない場合でも、正の特徴値の1つのファイバーに $F$-純特異点があるならば、一般ファイバーに対数正則特異点が生じることを証明すること。
• 等特徴値変形の下で、2次元の強く $F$-正則特異点の安定性を確立すること。
• Liedtke-Martin-Matsumotoの線形的に再帰的商特異点の変形に関する予想に対して、$F$-特異点技法を用いて肯定的な解答を与えること。

提案手法

• BCMテストイデアルを主理想から任意の理想へ一般化し、Ma-Schwedeの枠組みを非$\rQ$-ゴレンシュタイン設定へ拡張する。
• 一般化されたBCMテストイデアルを用いて、非$\rQ$-ゴレンシュタインの場合へのKawakitaの対数正則変形に関する議論を適応する。
• Esnault-Viehweg型の議論を適用し、強く $F$-正則なファイバーからklt特異点への変形を証明する。
• perfectoid技法と双対性理論を用いて、基底変換およびフロベニウス引き戻しの下でのテストイデアルの挙動を分析する。
• フロベニウス巾による加群のフィルトレーションを構成し、基底変換と整合性を保つことで、テストイデアルの安定性を証明する。
• テストイデアルがperfect点への基底変換と可換になる稠密な開部分集合 $U \subseteq \operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/n]$ の存在を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $F$-正則特異点が $\rQ$-ゴレンシュタイン設定を超えてklt特異点に変形できるか。
• RQ2 全体空間が $\rQ$-ゴレンシュタインでない場合でも、正の特徴値の1つのファイバーに $F$-純特異点があるならば、一般ファイバーに対数正則特異点が生じるか。
• RQ3 2次元の強く $F$-正則特異点は等特徴値変形の下で安定か。
• RQ4 Liedtke-Martin-Matsumotoの線形的に再帰的商特異点の変形に関する予想は、$F$-特異点技法を用いて確認できるか。

主な発見

• 全体空間 $\mathcal{X}$ が $\rQ$-ゴレンシュタインでない場合でも、ある素数 $p$ に対してファイバー $\mathcal{X}_p$ が $x_p$ で強く $F$-正則ならば、一般ファイバー $\mathcal{X}_\eta$ は $x_\eta$ でklt特異点を持つ。
• 全体空間 $\mathcal{X}$ が $\rQ$-ゴレンシュタインで $x_p$ で $F$-純である場合、$\mathcal{X}_\eta$ は $x_\eta$ で対数正則特異点を持つ。これは、無限個のこのような素数を仮定しなくても、1つの $p$ に対して成り立つ。
• 2次元の強く $F$-正則特異点は等特徴値変形の下で安定であり、Liedtke-Martin-Matsumoto予想の重要なケースを確認する。
• 一般化されたBCMテストイデアルの構成により、非$\rQ$-ゴレンシュタイン全体空間へも変形結果を拡張可能となり、$F$-特異点技法の適用範囲が拡大される。
• テストイデアルがperfect点への基底変換と可換であることは、$\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[1/n]$ の稠密な開部分集合上で変形結果が成り立つことを保証し、有効な計算的検証を可能にする。
• 本結果により実用的な基準が得られる：1つの正の特徴値ファイバーでの強く $F$-正則性または $F$-純性の確認により、特徴値0でのグローバル特異点型を同定できる。