[論文レビュー] Arithmetic circuits: the chasm at depth four gets wider

Pascal Koiran|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、AgrawalとVinayの深さ還元結果を拡張し、$n$ 変数の次数$d$ の多項式に対して多項式サイズの算術回路が、小規模な整数定数を保ちながら深さ4の回路に変換可能であることを示している。そのサイズは $n^{O( extstyleackslash sqrt extbackslash{d} extbackslash{log} d)}$ である。主な貢献は、$\ extbackslash mathsf extbackslash{VP}$ 家族に対するよりタイトな深さ4シミュレーションであり、その応用として恒等的多項式の下界やスパース多項式のブラックボックス恒等性テストが得られる。

ABSTRACT

In their paper on the "chasm at depth four", Agrawal and Vinay have shown that polynomials in m variables of degree O(m) which admit arithmetic circuits of size 2^o(m) also admit arithmetic circuits of depth four and size 2^o(m). This theorem shows that for problems such as arithmetic circuit lower bounds or black-box derandomization of identity testing, the case of depth four circuits is in a certain sense the general case. In this paper we show that smaller depth four circuits can be obtained if we start from polynomial size arithmetic circuits. For instance, we show that if the permanent of n*n matrices has circuits of size polynomial in n, then it also has depth 4 circuits of size n^O(sqrt(n)*log(n)). Our depth four circuits use integer constants of polynomial size. These results have potential applications to lower bounds and deterministic identity testing, in particular for sums of products of sparse univariate polynomials. We also give an application to boolean circuit complexity, and a simple (but suboptimal) reduction to polylogarithmic depth for arithmetic circuits of polynomial size and polynomially bounded degree.

研究の動機と目的

• 一般の算術回路と深さ4の回路との間のギャップを、多項式サイズの家族に対して埋める。
• AgrawalとVinayの $2^{o(m)}$ 界よりも優れた、サブ指数的サイズの深さ4シミュレーションが $\ extbackslash mathsf extbackslash{VP}$ 家族に対して達成可能であることを示す。
• 深さ還元の過程で小規模な整数定数を保つことにより、ブラックボックス恒等性テストへの応用を可能にする。
• 同じ深さ還元フレームワークを用いて、ブール回路複雑性における既知の結果を再証明する。
• 多項式サイズ・多項式次数の算術回路に対して、多対数的深さへの還元を単純で一様な方法で達成する。

提案手法

• 効率的な深さ還元を可能にするために、弱くねじれた回路と算術的分岐プログラムを中間表現として用いる。
• 形式的次数ごとに回路を層に分解し、各層がねじれることを保証することで、算術的分岐プログラムによるシミュレーションを可能にする。
• 繰り返し二乗法による行列累乗を適用し、算術的分岐プログラムを低深さ回路に並列化する。
• ねじれた回路と算術的分岐プログラムの等価性を活用し、得られる深さ4回路の深さとサイズを制限する。
• 無制限ファンインの加算ゲートと2入力乗算ゲートを用いることで、深さを最小限に抑えつつサイズの増加を制御する。
• 深さ還元フレームワークを適用し、$\ extbackslash mathsf extbackslash{LOGCFL}$ と多対数的深さ回路に関する結果を再証明する。同じコア技術を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式サイズの算術回路は、元の $2^{o(m)}$ 界よりも著しく小さいサイズの深さ4回路でシミュレート可能だろうか？
• RQ2 一般回路から深さ4への深さ還元は、特に恒等性テストの文脈において、小規模な整数定数を保ち続けるだろうか？
• RQ3 次数$d$ の多項式に対して、$\ extbackslash mathsf extbackslash{VP}$ 家族の深さ4シミュレーションが、サイズ界 $n^{O(\sqrt{d}\log d)}$ を達成できるだろうか？
• RQ4 深さ還元フレームワークは、$\ extbackslash mathsf extbackslash{LOGCFL}$ の定数深さシミュレーションといった、ブール回路複雑性における結果の再証明にどの程度再利用可能だろうか？
• RQ5 単純で一様な方法で、多項式サイズ・多項式次数の算術回路に対して多対数的深さを達成することは可能だろうか？

主な発見

• 任意の $\ extbackslash mathsf extbackslash{VP}$ 家族 $ (f_n) $ について、次数 $ d_n $ に対して、深さ4の算術回路がサイズ $ n^{O(\sqrt{d_n}\log d_n)} $ で構築可能であり、AgrawalとVinayの $ 2^{o(m)} $ 界を改善する。
• もし $ n\times n $ 行列のパーマネントが多項式サイズの回路を持つならば、そのパーマネントは深さ4回路としてサイズ $ n^{O(\sqrt{n}\log n)} $ で表現可能であり、これは下界証明の文脈で有用である可能性がある。
• 深さ4のシミュレーションは小規模な整数定数を保つ：元の回路が多項式有界な整数のみを用いるならば、深さ4回路に対しても同様である。
• 本論文は、多項式サイズ・多項式次数の算術回路が多対数的深さに多項式サイズで還元可能であるという新たな単純な証明を提供する。
• 多変数線形の場合に、深さ4構成はタイトである：既存の下界により、$ \sqrt{d_n} $ の指数を除去すると、線形性の保存が失われる。
• このフレームワークにより、$\ extbackslash mathsf extbackslash{LOGCFL}$ 言語が定数深さブール回路を持つことと、多対数的深さ還元の新たな証明が得られ、両者とも同じコア技術を用いる。