[論文レビュー] Associated graded of Hodge modules and categorical sl_2 actions

Sabin Cautis, C. A. F. Dodd+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、D_h-加群上のカテゴリカルな sl₂作用を用いて、補完的グラスマンニアンの積への開埋め込みの下でのホッジモジュールの押し出しの関連層を計算する。主な結果は、関連層が余接バンドルの局所的閉部分集合からのラインバンドルの押し出しとして特定され、軌道成分に関連する自然な重みフィルトレーションを持つことである。

ABSTRACT

One of the most mysterious aspects of Saito's theory of Hodge modules are the Hodge and weight filtrations that accompany the pushforward of a Hodge module under an open embedding. In this paper we consider the open embedding in a product of complementary Grassmannians given by pairs of transverse subspaces. The push-forward of the structure sheaf under this open embedding is an important Hodge module from the viewpoint of geometric representation theory and homological knot invariants. We compute the associated graded of this push-forward with respect to the induced Hodge filtration as well as the resulting weight filtration. The main tool is a categorical $\sl_2$ action on the category of $\D_h$-modules on Grassmannians. Along the way we also clarify the interaction of kernels for $\D_h$-modules with the associated graded functor. Both of these results may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 開埋め込み j: U → G(k,N) × G(N−k,N) に対して、ホッジモジュール押し出し j_*O_U の関連層を計算すること。ここで U は補完的部分空間の対が横断的であることを満たす開集合である。
• この押し出しによって誘導されるホッジおよび重みフィルトレーションの構造を、幾何的表現論およびホモロジー的ケーブル不変量の文脈で理解すること。
• 関連層関手を介して、D_h-加群上のカテゴリカルな sl₂作用と斎藤の混合ホッジモジュール理論との関係を確立すること。
• Lagrangian グラスマンニアンや二次曲面を含む、コミヌスキュルフラッグ多様体へこの計算を一般化し、余接バンドル上の連続層に対して類似の結果を予想すること。

提案手法

• インシデント対応の余接多様体に台を持つカーネルを用いて、グラスマンニアン上の D_h-加群のカテゴリカルな sl₂作用を構成する。
• フィルター付き D-加群と余接バンドル上の連続層との関係を確立するために、関連層関手 gr: D_h-mod → O_{T*X}-mod を適用する。
• D_h-加群のカーネルと関連層関手の相互作用を分析し、フィルトレーションが押し出しの下でどのように振る舞うかを明確にする。
• リーマン＝ヒルベルト対応および faisceaux-fonctions 対応を用いて、局所定数層と D-加群、ホッジモジュールを関連付ける。
• コミヌスキュルパラボリック部分群 P, Q に対して、G-軌道 G/P × G/Q における構造を研究し、次元が減少する順序付き集合 Z₀, ..., Z_k を特定する。
• 関連層のホッジモジュール押し出しの重みフィルトレーションが、各軌道 Z_s の余次元によって添え字づけられるフィルトレーションであると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U が補完的グラスマンニアンの積における横断的対の開集合をパラメトライズするとき、ホッジフィルトレーションに関するホッジモジュール j_*O_U の関連層の構造は何か？
• RQ2 この関連層上の重みフィルトレーションは、G-軌道による余接バンドルの層化とどのように関係するか？
• RQ3 グラスマンニアン上の D_h-加群におけるカテゴリカルな sl₂作用を用いて、ホッジモジュール押し出しの関連層を計算できるか？
• RQ4 この文脈において、D_h-加群のカーネルと関連層関手の関係は何か？
• RQ5 Lagrangian グラスマンニアンや偶数次元の二次曲面を含む他のコミヌスキュルフラッグ多様体へ結果を一般化できるか？

主な発見

• ホッジモジュール j_*O_U の関連層は、X = G(k,N) × G(N−k,N) における余接バンドルの局所的閉部分集合からのラインバンドルの押し出しと同型である。
• gr(G(j_*O_U)) 上の重みフィルトレーションは、G-軌道 Z_s の余次元によって添え字づけられる自然なフィルトレーションとして実現され、gr^W_s は Z_s の閉包上に台を持つ。
• ホッジモジュールの背後に隠れた D_h-加群の関連層は、シフトされた IC-層の直和として特定される：s = 0,…,k に対して gr^W_s(j_*δ_{Z₀,m}) ≅ IC_{Z̄_s,m}{s} である。
• G/P と G/Q 上の D_h-加群の間の同値を誘導するカーネルが、関連層側でも同値を誘導することを示し、関連層カーネルが余接多様体の正規化からのラインバンドルの押し出しとして得られることを示す。
• コミヌスキュルフラッグ多様体では、T^*G/P ×_g T^*G/Q の既約成分は、G-軌道 Z_s の余接バンドルの閉包であり、関連層カーネルはこの多様体の稠密な開部分集合からのラインバンドルの直接像であると予想される。
• ホッジモジュール押し出しの関連層がシフトされた IC-層の直和であるという予想、および O_{T^*X}-側のカーネルが余接多様体の正規化からのラインバンドルの押し出しであるという予想を提示する。