[論文レビュー] Associative $n$-categories

Christoph Dorn|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、特異 $n$-立方体——つまり、$n$-立方体の分層的でフラッグ・フォリエーションに適合する分解——に基づく、新しい組合せ的枠組みを用いて、結合的 $n$$-圏を導入する。バンドルとベース変換を用いた圏論的基盤を確立し、各多様体図式が一意な崩壊正規形を有することを証明することで、等価性の決定可能性とコンピュータ実装を可能にする。この枠組みは、単位元と結合子を厳密に持つ結合的 $n$-圏を定義し、弱さはホモトピーに限る。また、標準的な結合性データの体系的回復により、弱 $n$-圏との同値性を提案する。

ABSTRACT

We define novel fully combinatorial models of higher categories. Our definitions are based on a connection of higher categories to "directed spaces". Directed spaces will be locally modelled on manifold diagrams, which are stratifications of the n-cube such that strata are transversal to the flag foliation of the n-cube. The first part of this thesis develops a combinatorial language for manifold diagrams called singular n-cubes. In the second part we apply this language to build our notions of higher categories. Singular n-cubes can be thought of as "flag-foliation-compatible" stratifications of the n-cube, such that strata are "stable" under projections from the (k + 1)- to the k-cube, together with a functorial assignment of data to strata. The definition of singular n-cubes is inductive, with (n + 1)-cubes being defined as combinatorial bundles of n-cubes over the (stratified) interval. The combinatorial structure of singular n-cubes can be naturally organised into two categories: SI//ⁿ_C, whose morphisms are bundles themselves, and Cubeⁿ _C , whose morphisms are inductively defined as base changes of bundles. The former category is used for the inductive construction of singular n-cubes. The latter category describes the following interactions of these cubes. There is a subcategory of "open" base changes, which topologically correspond to open maps of bundles. We show this subcategory admits an (epi,mono) factorisation system. Monomorphism will be called embeddings and describe how cubes can be embedded in one another such that strata are preserved. Epimorphisms will be called collapses and describe how strata can be can be refined. Two cubes are equivalent if there is a cube that they both refine. We prove that each "equivalence class" (that is, the connected component of the subcategory generated by epimorphisms) has a terminal object, called the collapse normal form. Geometrically speaking the existence of collapse normal forms translates into saying that any combinatorially represented manifold diagram has a unique coarsest stratification, making the equality relation between manifold diagrams decidable and computer implementable. As the main application of the resulting combinatorial framework for manifold diagrams, we give algebraic definitions of various notions of higher categories. In particular, we define associative n-categories, presented associative n-categories and presented associative n-groupoids. The first depends on a theory of sets, while the latter two do not, making them a step towards a framework for working with general higher categories in a foundation- independent way. All three notions will have strict units and associators. The only "weak" coherences which are present will be called homotopies. We propose that this is the right conceptual categorisation of coherence data: homotopies are essential coherences, while all other coherences can be uniformly derived from them. As evidence to this claim we define presented weak n-categories, and develop a mechanism for recovering the usual coherence data of weak n-categories, such as associators and pentagonators and their higher analogues. This motivates the conjecture that the theory of associative higher categories is equivalent to its fully weak counterpart.

研究の動機と目的

• 多様体図式と方向付き幾何学に基づく、基礎に依存しない高次圏の完全な組合せ的モデルの構築。
• 各同値類に対して一意な崩壊正規形が存在することを証明することで、多様体図式間の等価性の決定可能性の解決。
• 単位元と結合子を厳密に持つ結合的 $n$-圏の定義。弱い結合性をホモトピーに限定することで、結合性構造の簡素化。
• 標準的な弱 $n$-圏の結合性データ（例えば、結合子、五角形子など）が、この枠組みから体系的に回復可能であることを示すこと。
• 結合的 $n$-圏が、標準的な結合性構造の体系的回復により、弱 $n$-圏とカテゴリカルに同値であると仮説を立てること。

提案手法

• 分層的区間上の $n$-立方体のバンドルを用いて、特異 $n$-立方体を帰納的に定義する。ベース圏 $\mathrm{SI}//_n^C$ を用いる。
• 2つの圏を定義する：$\mathrm{Cub}_n^C$（ベース変換を介して）、$\mathrm{SI}//_n^C$（バンドルを介して）。開基底変換の部分圏は (epi, mono) 分解系を備える。
• モノモルフィズムをストラトスを保存する埋め込みと特定し、エピモルフィズムをストラトスを精緻化する崩壊と特定し、分解系を形成する。
• エピモルフィズムによる各同値類が、帰納的構成により終端対象（崩壊正規形）を有することを確立する。
• この枠組みを用いて、結合的 $n$-圏、提示された結合的 $n$-圏、提示された結合的 $n$-群作用を定義し、すべてが厳密な単位元と結合子を持つ。
• ホモトピーから標準的な弱い結合性データ（例：五角形子）を再構成するメカニズムを用い、すべての高次結合性が一様に導出可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体図式の組合せ的モデルを構築可能か。その際、図式間の等価性が決定可能かつ計算可能であるか。
• RQ2 各多様体図式は、崩壊による精緻化の下で、一意な粗い分層（崩壊正規形）を有するか。
• RQ3 集合論の理論に依存せず、基礎に依存しない方法で結合的 $n$-圏を定義可能か。
• RQ4 ホモトピーが、高次圏におけるすべての結合性データを生成可能であり、それが唯一の本質的弱結合性であるか。
• RQ5 結合的 $n$-圏の理論が、標準的な結合性構造の体系的回復により、弱 $n$-圏の理論と同値であるか。

主な発見

• エピモルフィズムによる各同値類は、一意な終端対象（崩壊正規形）を有し、多様体図式の等価性の決定可能性を保証する。
• 開基底変換の圏は (epi, mono) 分解系を備え、モノモルフィズムは埋め込み、エピモルフィズムは崩壊に対応する。
• 提示された結合的 $n$-圏および提示された結合的 $n$-群作用は、集合論の理論を参照せず定義可能であり、基礎に依存しない定式化を可能にする。
• この枠組みにより、結合子、五角形子、およびそれらの高次類似物といった、標準的な弱 $n$-圏の結合性データが一様なメカニズムで完全に再構成可能である。
• 崩壊正規形の存在は、図式の同値性検証の計算的基盤を提供し、高次圏理論におけるアルゴリズム的実装を可能にする。
• 本稿は、結合的 $n$-圏が弱 $n$-圏とカテゴリカルに同値であると仮説を立てており、ホモトピーが唯一の本質的結合性データであると示唆する。