[論文レビュー] Asymptotics of the $D^8 R^4$ genus-two string invariant

Eric D’Hoker, Michael Green+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 47被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、II型超弦理論における $D^8\mathcal{R}^4$ 相互作用に関連する genus-two モジュラー図式関数の漸近的挙動を計算する。非分離および分離的退化を用いて、退化パラメータにおける明示的なローラン展開および多項式展開を導出し、ストリング不変量のトロピカル極限が、奇数のゼータ値に起因する高次微分項を含む、超重力の下位項を除いて二ループ超重力理論の積分子を再現することを示す。

ABSTRACT

We continue our investigation of the modular graph functions and string invariants that arise at genus-two as coefficients of low energy effective interactions in Type II superstring theory. In previous work, the non-separating degeneration of a genus-two modular graph function of weight $w$ was shown to be given by a Laurent polynomial in the degeneration parameter $t$ of degree $(w,w)$. The coefficients of this polynomial generalize genus-one modular graph functions, up to terms which are exponentially suppressed in $t$ as $t o \infty$. In this paper, we evaluate this expansion explicitly for the modular graph functions associated with the $D^8 {\cal R}^4$ effective interaction for which the Laurent polynomial has degree $(2,2)$. We also prove that the separating degeneration is given by a polynomial in the degeneration parameter $\ln (|v|)$ up to contributions which are power-behaved in $v$ as $v o 0$. We further extract the complete, or tropical, degeneration and compare it with the independent calculation of the integrand of the sum of Feynman diagrams that contributes to two-loop type II supergravity expanded to the same order in the low energy expansion. We find that the tropical limit of the string theory integrand reproduces the supergravity integrand as its leading term, but also includes sub-leading terms proportional to odd zeta values that are absent in supergravity and can be ascribed to higher-derivative stringy interactions.

研究の動機と目的

• $D^8\mathcal{R}^4$ 相互作用に対する genus-two モジュラー図式関数の非分離的および分離的退化を計算すること。
• ストリング不変量の完全トロピカル（または完全退化）極限を導出し、二ループ超重力振幅と比較すること。
• トロピカル極限における超重力に存在しないが、高次微分ストリング相互作用に起因する下位項を同定すること。
• 退化係数のモジュラーおよび算術的構造（ベルヌーイ多項式およびゼータ値を含む）を確立すること。

提案手法

• 非分離的退化を、ファンネル構成を用いて genus-two リーマン面を穿孔付きトーラスのペアに分解することで分析する。
• 退化パラメータ $t$ における漸近展開を用いて、グリーン関数およびカワヅミ＝チャンプの不変量の退化を計算する。
• 一般化されたモジュラー図式関数およびエーセンシュタイン級数、クロネッカー＝エーセンシュタイン級数との関係を用いて、モジュラー図式関数の退化を評価する。
• 全体的ファンネル構成とアーベル微分の退化を用いて、分離的退化を $\ln|v|$ の多項式として、べき乗的補正まで含めて導出する。
• $t \to \infty$ および $y = \pi \tau_2 \to \infty$ の極限をとることでトロピカル極限を抽出し、変数の再定義により超重力積分子と一致させる。
• 積分還元および変分的技法を用いて、個々の成分 $\mathcal{Z}_i$ および $\mathcal{K}^c$ のトロピカル極限を計算し、$\zeta(3)$、$\zeta(5)$、$\zeta(7)$、および $\zeta(3)^2$ の寄与を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $D^8\mathcal{R}^4$ 相互作用に対する genus-two モジュラー図式関数は、非分離的退化においてどのように振る舞うか？
• RQ2 この不変量の分離的退化の構造は何か？非分離的の場合とはどのように異なるか？
• RQ3 ストリング不変量のトロピカル極限が、二ループ超重力積分子をどの程度再現するか？
• RQ4 トロピカル極限において、超重力に存在しないが高次微分ストリング項に起因する項は何か？
• RQ5 奇数のゼータ値およびベルヌーイ多項式は、ストリング不変量の漸近的展開において果たす役割は何か？

主な発見

• $D^8\mathcal{R}^4$ 不変量の非分離的退化は、$t$ における $(2,2)$ 次のローラン多項式として与えられ、係数はベルヌーイ多項式 $B_{2n}(u_2)$ およびゼータ値で表される。
• 分離的退化は、べき乗的補正を除いて $\ln|v|$ の多項式として与えられ、主な振る舞いは $y = \pi \tau_2$ を用いたトロピカル極限として捉えられる。
• 全不変量 $\mathcal{B}_{(2,0)}^{(t)}$ のトロピカル極限は、二ループ超重力積分子をその主要項として再現し、$\zeta(3)$、$\zeta(5)$、$\zeta(7)$、および $\zeta(3)^2$ に起因する追加の下位項を含む。
• $\zeta(3)$、$\zeta(5)$、$\zeta(7)$ に比例する下位項は超重力に存在しないが、高次微分ストリング相互作用に起因する。
• トロピカル極限における $1/y^2$ の係数は、積分 $\mathcal{K}_{aaaa}^0$ の非正則性のため未決定のままであるが、間接的にその寄与が推定される。
• 完全トロピカル極限は、奇数のゼータ値を含む項を除いて、二ループ超重力のフェ Feynman 図の和と一致し、超重力近似を超えるストリング補正の存在を確認する。