[論文レビュー] Automatically generating Fukaya categories and computing quantum cohomology

Sheel Ganatra|arXiv (Cornell University)|May 25, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 38被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなシンプレクティック多様体 X の Fukaya 圏 𝒦(X) の任意のホモロジカルに滑らかな全subcategory 𝒜 が、c₁(X) ≠ 0 のとき 0次ホッホシュタインコホホロジー HH⁰(𝒜) のランクが十分に大きい限り、自動的に分裂生成するということを確立する。この結果は、開-閉写像の形式的性質とペアリングとの整合性に依拠しており、以前のミラー対称性の結果を一般化し、幾何的生成性を、subcategory に対する内在的な代数的条件に還元する。

ABSTRACT

Suppose one has found a non-empty sub-category $\mathcal{A}$ of the Fukaya category of a compact Calabi-Yau manifold $X$ which is homologically smooth in the sense of non-commutative geometry, a condition intrinsic to $\mathcal{A}$. Then, we show $\mathcal{A}$ split-generates the Fukaya category and moreoever, that our hypothesis implies (and is therefore equivalent to the assertion that) $\mathcal{A}$ satisfies Abouzaid's geometric generation criterion [Abo]. An immediate consequence of earlier work [G1, GPS1, GPS2] is that the open-closed and closed-open maps, relating quantum cohomology to the Hochschild invariants of the Fukaya category, are also isomorphisms. Our result continues to hold when $c_1(X) eq 0$ (for instance, when $X$ is monotone Fano), under a further hypothesis: the 0th Hochschild cohomology of $\mathcal{A}$ $\mathrm{HH}^0(\mathcal{A})$ should have sufficiently large rank: $\mathrm{rk}\ \mathrm{HH}^0(\mathcal{A}) \geq \mathrm{rk}\ \mathrm{QH}^0(X)$. Our proof depends only on formal properties of Fukaya categories and open-closed maps, the most recent and crucial of which, compatibility of the open-closed map with pairings, was observed independently in ongoing joint work of the author with Perutz and Sheridan [GPS2] and by Abouzaid-Fukaya-Oh-Ohta-Ono [AFO+]; a proof in the simplest settings appears here in an Appendix. Because categories Morita equivalent to categories of coherent sheaves or matrix factorizations are homologically smooth, our result applies to resolve the split-generation question in homological mirror symmetry for compact symplectic manifolds (generalizing a result of Perutz-Sheridan [PS2] proven in the case $c_1(X) = 0$): any embedding of coherent sheaves or matrix factorizations into the split-closed derived Fukaya category is automatically a Morita equivalence when it has large enough $\mathrm{HH}^0$ (which it always does if $c_1(X)=0$).

研究の動機と目的

• コンパクトなシンプレクティック多様体の Fukaya 圏の分裂生成性に関する一般的基準を確立すること。この際、Calabi-Yau またはミラー対称性の仮定を必要としない。
• c₁(X) ≠ 0 であっても、全subcategory 𝒜 ⊂ 𝒦(X) がホモロジカルに滑らかであれば、Fukaya 圏 𝒦(X) が分裂生成することを示すこと。
• Abouzaid の幾何的生成性基準の検証を、ambient geometry に依存しない、subcategory に対する内在的な代数的条件に還元すること。
• HH⁰(𝒜) のランク条件を用いて、Calabi-Yau からモノトーン Fano および一般のシンプレクティック多様体へ、自動的生成結果を拡張すること。
• subcategory が滑らかでかつ HH⁰(𝒜) が十分に大きなランクを持つとき、開-閉写像と閉-開写像が同型であることを示すこと。

提案手法

• Fukaya 圏および開-閉写像の形式的公理を用い、開-閉写像とペアリングの整合性（先行の共同研究および AFOOO による独立的証明で確立済み）に依拠する。
• Abouzaid の幾何的生成性基準を鍵的ツールとして用い、𝒜 が滑らかで空でないならば、この基準を満たすことを示す。
• 特に、rk(HH⁰(𝒜)) ≥ rk(QH⁰(X)) であることを、c₁(X) ≠ 0 のときの分裂生成の十分条件として Hochschild コホホロジー計算を用いる。
• 境界条件と対角サイクルに沿ったインシデント条件を備えた擬全純円環のモジュライ空間を用いて、開-閉写像を定義・解析する。
• Gromov-Floer のモジュライ空間のコンパクト化と境界ストラタの解析（特に、内点で接続された2つの円板を持つノード付きリーマン面への退化を含む）に依拠する。
• 対角と Poincaré 双対サイクルの間のコボルディズムを用いたチェーンホモトピーの議論により、開-閉写像を Hochschild ホモロジー上のペアリングに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全subcategory 𝒜 ⊂ 𝒦(X) が、コンパクトなシンプレクティック多様体 X の Fukaya 圏を分裂生成するための、どのような代数的条件が必要か？
• RQ2 Abouzaid の幾何的生成性基準は、ambient geometry に依存しない、subcategory に対する内在的な代数的条件に還元可能か？
• RQ3 c₁(X) ≠ 0 のとき、HH⁰(𝒜) のランクは分裂生成性にどのように関係し、最小でどのくらいのランクが必要か？
• RQ4 どのような状況で開-閉写像と閉-開写像が同型となるか？また、これは 𝒜 の滑らかさとどのように関係するか？
• RQ5 分裂生成結果は、Calabi-Yau 多様体を超えて、モノトーン Fano または一般のシンプレクティック多様体へ拡張可能か？

主な発見

• 空でない全subcategory 𝒜 ⊂ 𝒦(X) がホモロジカルに滑らかであり、かつ rk(HH⁰(𝒜)) ≥ rk(QH⁰(X)) であれば、c₁(X) ≠ 0 であっても、𝒜 は自動的に Fukaya 圏を分裂生成する。
• この結果は、開-閉写像とペアリングの公理的性質を満たす任意の Fukaya 圏の構成に対して成立するため、広範に適用可能である。
• 𝒜 が滑らかでかつ HH⁰(𝒜) にランク条件を満たすとき、開-閉写像と閉-開写像は同型である。これは、[Perutz:2015aa] の先行結果を一般化する。
• 証明は、Abouzaid の幾何的基準を、𝒜 の内在的な代数的性質に還元し、新たな擬全純曲線計算を必要としない。
• この手法は、コherent sheaves や行列因子化とモルティア同値な圏にも適用可能であり、これらは自動的に滑らかであるため、コンパクトなシンプレクティック多様体におけるホモロジカルミラー対称性の分裂生成問題を解決する。
• 主な技術的要因は、開-閉写像とペアリングの整合性であり、これは GPS2 および AFOOO によって独立に確立されており、本研究では基礎的な役割を果たしている。