[論文レビュー] Automatically Proving Mathematical Theorems with Evolutionary Algorithms and Proof Assistants

Li-An Yang, Jui-Pin Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Evolutionary Algorithms and Applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、進化的アルゴリズムと証明アシスタント（特にCoq）を組み合わせる新しいフレームワークを提案する。整数列として符号化された証明戦略を単純な遺伝的アルゴリズムで進化させ、Coqで評価することで、Coqの組み込み 'auto' 戦略では解けない10個の非自明な定理の形式的証明を自動的に生成・検証することに成功した。これは、進化的探索を用いた自動定理証明の可能性を示している。

ABSTRACT

Mathematical theorems are human knowledge able to be accumulated in the form of symbolic representation, and proving theorems has been considered intelligent behavior. Based on the BHK interpretation and the Curry-Howard isomorphism, proof assistants, software capable of interacting with human for constructing formal proofs, have been developed in the past several decades. Since proofs can be considered and expressed as programs, proof assistants simplify and verify a proof by computationally evaluating the program corresponding to the proof. Thanks to the transformation from logic to computation, it is now possible to generate or search for formal proofs directly in the realm of computation. Evolutionary algorithms, known to be flexible and versatile, have been successfully applied to handle a variety of scientific and engineering problems in numerous disciplines for also several decades. Examining the feasibility of establishing the link between evolutionary algorithms, as the program generator, and proof assistants, as the proof verifier, in order to automatically find formal proofs to a given logic sentence is the primary goal of this study. In the article, we describe in detail our first, ad-hoc attempt to fully automatically prove theorems as well as the preliminary results. Ten simple theorems from various branches of mathematics were proven, and most of these theorems cannot be proven by using the tactic auto alone in Coq, the adopted proof assistant. The implication and potential influence of this study are discussed, and the developed source code with the obtained experimental results are released as open source.

研究の動機と目的

• 進化的アルゴリズムを証明生成者、証明アシスタントを証明検証者として用いる自動定理証明の可能性を調査すること。
• 進化的アルゴリズムのような確率的かつグローバルな探索手法が、Coqにおける形式的証明の空間を効果的に探索できるかどうかを検討すること。
• 標準的な自動戦略（例：Coqにおける'auto'）では解けない定理を、このハイブリッドアプローチが証明できるかどうかを評価すること。
• 計算的証明探索を通じて、協働的・自動的な数学的知識蓄積が可能な将来的なシステムの基盤を築くこと。

提案手法

• 進化的アルゴリズムが、Coqにおける戦略列を表す整数列を生成する。
• 各整数列は証明スクリプトとして解釈され、Coq証明アシスタントによって正しさが評価される。
• 適合度評価は、Coqの型チェック機能によって実施され、生成された証明スクリプトが目的の定理を正しく証明しているかを検証する。
• アルゴリズムは高度なメカニズムを備えていない単純な遺伝的プログラミング手法を用い、証明の長さや効率性よりも証明の正当性に焦点を当てる。
• フレームワークはCurry-Howard同型を活用しており、証明をプログラムとみなしてCoqにおけるプログラム評価によって検証する。
• 今後の拡張を想定し、実行時ステータスの監視やモンテカルロ木探索の統合を計画している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 進化的アルゴリズムは、Coqのような証明アシスタントにおける形式的証明の空間を効果的に探索できるか？
• RQ2 このアプローチは、Coqにおける標準的な自動戦略（例：'auto'）では解けない定理を自動的に証明できるか？
• RQ3 単純な進化的アルゴリズムを証明アシスタントの検証機能と組み合わせることで、正しい証明を生成する可能性はどの程度か？
• RQ4 証明アシスタントは、証明状態に関するリアルタイムフィードバックを通じて、進化的探索をどのようにガイドできるか？
• RQ5 このようなフレームワークの長期的影響は、自動的かつ蓄積的に行われる数学的知識の自動蓄積にどのような意味を持つのか？

主な発見

• フレームワークは、Coqの 'auto' 戦略では証明できない、数学のさまざまな分野に属する10の定理を正常に証明した。
• 進化的アルゴリズムが生成した正当な証明スクリプトが、Coqによって正しく検証された。これは、このアプローチの実現可能性を示している。
• 解空間に関する事前知識なしに証明が生成されたため、進化的プロセスが非自明な証明経路を発見できたことが示された。
• 結果から、証明アシスタントの正当性保証と組み合わせた場合、進化的アルゴリズムが形式的証明空間における有効な探索メカニズムとして機能することが示唆された。
• このアプローチは、計算的証明探索を通じて、自動的かつ協働的な数学的知識蓄積への道を開いた。
• 著者らは、進化的アルゴリズムと証明アシスタントの統合が、将来的な自動定理証明分野における有望な研究分野であると結論づけた。