[論文レビュー] Automorphic vector bundles with global sections on $G$-${ t Zip}^{\mathcal Z}$-schemes

Wushi Goldring, Jean-Stefan Koskivirta|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連結Hッジ型の $G$-zip スキーム上の自己形式ベクター束の全域切断を持つようなコーンに関する予想を提示し、$A_1^n$、$C_2$、および $ F_p$-分解型 $A_2$ の群についてその予想を証明する。全域切断は $G$-zip スタックと分類写像の幾何学的性質によって制御され、非連結Hッジ型zipデータに対しては反例が提示され、予想が成り立たないことが示されている。

ABSTRACT

A general conjecture is stated on the cone of automorphic vector bundles admitting nonzero global sections on schemes endowed with a smooth, surjective morphism to a stack of $G$-zips of connected-Hodge-type; such schemes should include all Hodge-type Shimura varieties with hyperspecial level. We prove our conjecture for groups of type $A_1^n$, $C_2$ and $\mathbf F_p$-split groups of type $A_2$ (this includes all Hilbert-Blumenthal varieties and should also apply to Siegel modular threefolds and Picard modular surfaces). An example is given to show that our conjecture can fail for zip data not of connected-Hodge-type.

研究の動機と目的

• スキーム $X$ が $G$-zip スタック $\GZip^\Zcal$ に滑らかかつ全射な準同型 $\zeta: X \to \GZip^\Zcal$ を持つとき、その全域的幾何がスタック $\GZip^\Zcal$ と写像 $\zeta$ によってどの程度制御されるかを理解すること。
• 連結Hッジ型の $G$-zip スキームにおける、非ゼロの全域切断を持つ自己形式ベクター束のコーンに関する一般予想を定式化し、証明すること。
• 特定の群 $A_1^n$、$C_2$、および $ F_p$-分解型 $A_2$ に対してその予想を確立する。これは、すべてのヒルベルト＝ブルメンタール多様体も含む。
• 非連結Hッジ型でないzipデータに対しては反例を用いて、予想が成り立たないことを示すこと。
• 自己形式ラインバンドルと全域切断の文脈において、コーン $C_Y$、$C_\mathcal{Y}$、および $C_{\operatorname{Sbt}}$ の関係を明確にすること。

提案手法

• 志田多様体とHッジ理論から生じる $G$-zip 及びその関連スタック $\GZip^\Zcal$ の理論を活用する。
• 重み格子上の特徴 $\lambda$ に関連する構成 $\mathscr{V}(\lambda)$ を用いて、自己形式ベクター束の枠組みを適用する。
• 全域切断を持つ特徴のコーン $C_Y$ を用い、$G$-zip 構造から導かれるコーン $C_\mathcal{Y}$ と比較する。
• $\iota: \tilde{G} \to G$ の包含による特徴の引き戻しを用いて、コcharacter群の双対への重み格子の像を分析する。
• Kempfの消失定理および正則性基準を適用し、特定のラインバンドルに対して全域切断の存在を導く。
• 行列の逆行列および線形不等式を用いて、双対空間におけるコーン $C'_{\mathcal{Y}}$ を記述し、特定の特徴が属さないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スキーム $X$ が $G$-zip スタック $\GZip^\Zcal$ に滑らかかつ全射な準同型 $\zeta: X \to \GZip^\Zcal$ を持つとき、その全域的幾何はスタック $\GZip^\Zcal$ と写像 $\zeta$ によってどの程度制御されるか？
• RQ2 全域切断を持つ特徴のコーン $C_Y$ と $G$-zip 構造から導かれるコーン $C_\mathcal{Y}$ の間の正確な関係は何か？
• RQ3 連結Hッジ型の $G$-zip スキームに対して、$C_Y = C_\mathcal{Y}$ であるという予想は常に成り立つか？
• RQ4 非連結Hッジ型でないzipデータに対して、その予想が成り立たないことは示せるか、そしてその方法は何か？
• RQ5 $G = GSp(6)$ および $X = \mathcal{A}_{3,K}$ の場合に、コーン $C_{\operatorname{Sbt}}$、$C_\mathcal{Y}$、$C_Y$ はどのように比較できるか？

主な発見

• 群の型 $A_1^n$、$C_2$、および $ F_p$-分解型 $A_2$ に対して、$C_Y = C_\mathcal{Y}$ であるという予想が成り立つ。これは、すべてのヒルベルト＝ブルメンタール多様体も含む。
• $G = GSp(6)$ の場合、コーン $C_Y$ は $C_{\operatorname{Sbt}}$ を厳密に含む。これは、全域切断のコーンが特別なファイバーからの引き戻しによっては捕捉されないことを示している。
• $G = GSp(6)$ および $X = \mathcal{A}_{3,K}$ の反例により、zipデータが連結Hッジ型でない場合には $C_Y \neq C_\mathcal{Y}$ であることが示された。
• 特徴 $\lambda_n$ で $\iota^*(\lambda_n) = (-(p+1+n), p^2+n, p^2+1+n)$ を満たすものは、任意の $n, m \geq 1$ に対して全域切断を持たないため、$\lambda_n \notin C_\mathcal{Y}$ である。
• $\lambda_n \notin C_\mathcal{Y}$ であるにもかかわらず、ラインバンドル $\mathscr{L}_Y(\lambda_n)$ は十分大きな $n$ に対して正則的であるため、$\lambda_n \in C_Y$ である。よって $C_Y \neq C_\mathcal{Y}$ である。
• $G = GSp(6}$ の場合、コーン $C_\mathcal{Y}$ は $C_{\operatorname{Sbt}}$ よりも厳密に大きい。これは、従来の仮定よりも複雑な構造を有していることを示している。