[論文レビュー] Sections of the Hodge bundle over Ekedahl-Oort strata of Shimura varieties of Hodge type

Jean-Stefan Koskivirta|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Hodge型 Shimura 変わるの Ekedahl-Oort stratum の各々において、Hodge バンドの冪の正規化されない全域切断を構成し、各 stratum において Hodge バンドが torsion であることを証明する。これにより、Edekahl-Oort stratum の準アフィン性が得られ、射影的場合における非空性の短い証明が可能となり、既知の結果を回復するとともに、一般の Hodge 型 Shimura 変わるへと拡張する。

ABSTRACT

We construct canonical non-vanishing global sections of powers of the Hodge bundle on each Ekedahl-Oort stratum of a Hodge type Shimura variety. In particular we recover the quasi-affineness of the Ekedahl-Oort strata. In the projective case, this gives a very short proof of non-emptiness of Ekedahl-Oort strata. It follows that the Newton strata are also nonempty, by a result of S.Nie. We also deduce the fact that the $μ$-ordinary locus is determined by the Ekedahl-Oort strata of its image by any embedding.

研究の動機と目的

• Hodge 型 Shimura 変わるの各 Ekedahl-Oort stratum において、Hodge バンドの冪の正規化されない全域切断が存在することを確立すること。
• 各 stratum における Hodge バンドが torsion であることを示すことにより、Edekahl-Oort stratum が準アフィンであることを証明すること。
• Hodge バンドの正則性と帰納的議論を用いて、射影的場合における Ekedahl-Oort stratum の非空性を短い証明で示すこと。
• μ-ordinary locus が、他のデータとは独立して p-torsion 群スキーム構造によって決定されることを示すこと。
• Edekahl-Oort 分離の非空性に関する結果を、Hodge 型 Shimura 変わるの一般化にまで拡張すること。

提案手法

• G-zips のスタックと写像 ζ: S_K → G-Zip^μ を用いて、Edekahl-Oort stratum をファイバーとしてパrametrizeする。
• G-zips の商スタック上の線分束の Picard 群および全域切断に関する一般的結果を適用する。
• 埋め込みを介して Siegel 模型多様体から引き戻すことにより、一般化された Hasse 不変量を各 stratum における正規化された全域切断として構成する。
• 各 stratum S^w において ω_S^⊗N_wd に非自明な切断が存在することを示すことにより、Hodge バンド ω_S が torsion であることを示す。
• O_{S^w} ≅ ω_S^⊗N_wd の同型を用いて、各 stratum が準アフィンであることを導く。
• zip 写像 ζ の平坦性および開性と、帰納的次元削減を用いて、射影的場合における stratum の非空性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hodge 型 Shimura 変わるの各 Ekedahl-Oort stratum において、Hodge バンドの冪の正規化されない全域切断を構成できるか？
• RQ2 このような切断の存在が、各 Ekedahl-Oort stratum が準アフィンであることを示唆するか？
• RQ3 射影的 Hodge 型 Shimura 変わるにおける Ekedahl-Oort stratum の非空性を、この構成を用いて証明できるか？
• RQ4 Hodge 型 Shimura 変わるにおける μ-ordinary Ekedahl-Oort stratum は、p-torsion 群スキーム A[p] の同型類のみによって完全に決定されるか？
• RQ5 Edekahl-Oort stratum の準アフィン性は、射影的 Hodge 型 Shimura 変わるにおける Newton stratum の非空性を示唆するか？

主な発見

• 各非空 Ekedahl-Oort stratum S^w に対して、N_w ≥ 1 が存在し、任意の d ≥ 1 に対して ω_S^⊗N_wd が正規化されない全域切断を有する。
• このような切断の存在は、Hodge バンドが各 stratum で torsion であることを示し、O_{S^w} ≅ ω_S^⊗N_wd の同型を誘導する。
• これにより、各 Ekedahl-Oort stratum が準アフィンであることが示され、従来の別法で得られていた結果を回復する。
• 射影的場合、準アフィン性と帰納的次元議論により、次元 0 の superspecial (次元 0) Ekedahl-Oort stratum が非空であることが示され、したがってすべての stratum が非空である。
• μ-ordinary stratum S^μ は S^μ = ι⁻¹(S₀^μ) を満たし、これは A[p] の同型類のみによって決定されることを意味する。
• S. Nie の結果により、Edekahl-Oort stratum の非空性は、射影的 Hodge 型 Shimura 変わるにおける Newton stratum の非空性を示す。