[論文レビュー] Azumaya structure on D-branes and resolution of ADE orbifold singularities revisited: Douglas-Moore vs. Polchinski-Grothendieck

Chien‐Hao Liu, Shing‐Tung Yau|ArXiv.org|Jan 3, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、D-brane におけるアズマヤ構造とネット化されたカテゴリカル商構成を組み合わせることで、ADE オルビフォルト特異点の最小解消が再現されることを示している—これは、もともとハイパーケーラー商（Kronheimer-Nakajima）およびオープン弦量子場理論（Douglas-Moore）によって得られていた結果である。主な結果は、この構成によって得られる $[\mathbb{A}^2/\Gamma]$ 上の D0-brane の粗モジュライ空間が、最小解消 $\widetilde{\mathbb{A}^2/\Gamma}$ に同型であることである。これにより、Polchinski-Grothendieck 予想に基づく D-brane による幾何学的解消の数学的基盤が確立される。

ABSTRACT

In this continuation of [L-Y1] and [L-L-S-Y], we explain how the Azumaya structure on D-branes together with a netted categorical quotient construction produces the same resolution of ADE orbifold singularities as that arises as the vacuum manifold/variety of the supersymmetric quantum field theory on the D-brane probe world-volume, given by Douglas and Moore [D-M] under the string-theory contents and constructed earlier through hyper-Kähler quotients by Kronheimer and Nakajima. This is consistent with the moral behind this project that Azumaya-type structure on D-branes themselves -- stated as the Polchinski-Grothendieck Ansatz in [L-Y1] -- gives a mathematical reason for many originally-open-string-induced properties of D-branes.

研究の動機と目的

• ADE オルビフォルト特異点の解消が、弦理論における D-brane プローブによって得られるものと、代数幾何学的構成が一致することを明らかにすること。
• Polchinski-Grothendieck 予想—D-brane をアズマヤ対象として解釈すること—が特異点の解消幾何を数学的に実現するメカニズムを提供することを示すこと。
• $[\mathbb{A}^2/\Gamma]$ 上の D0-brane のモジュライ空間に対するネット化されたカテゴリカル商が、${\mathbb{A}}^2/\Gamma$ の最小解消をもたらすことを示すこと。
• $\Gamma$-不変部分集合を介して、幾何学的 D-brane 状態と $\mathbb{A}^2$ 上の点のヒルベルトスキームとの対応を確立すること。

提案手法

• D-brane をアズマヤ対象としてモデル化する Polchinski-Grothendieck 予想を用い、長さ $r$ の $\Gamma$-可換 $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2}$-加群の $W$-族上の構造層 $\mathcal{O}_{\widetilde{Z}}$ を導入する。
• オルビフォルトの表現の商スタックとして、モジュライスタック $\mathfrak{M}^{D0}_1([\mathbb{A}^2/\Gamma])$ を構成する。
• 解消 $W$ とのファイバー積を用いて、アトラス $C_2\Gamma M_r(\mathbb{C})$ 内に $\Gamma$-不変部分スタック $C_{2}\Gamma M_r(\mathbb{C})^\circ$ を特定する。
• カテゴリカル商 $C_{2}\Gamma M_r(\mathbb{C})^\circ / \mathrm{GL}_r(\mathbb{C})$ を適用し、$W$ に同型な幾何的商を得る。
• ヒルベルト・チャウ写像と同型 $({\mathbb{A}}^{2})^{[r]}/\Gamma \cong W$ を用いて、解消が固定点集合として同定されることを示す。
• 群 $\Gamma$ の正則表現と、$\mathbb{C}^r$ を生成する $\Gamma$-不変ベクトル $v_0$ が存在するという事実（$H^0(\mathcal{O}_{\mathrm{pt}_\varphi}) \cdot v_0 = \mathbb{C}^r$）を用いて、可動 D-brane を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ADE オルビフォルト特異点 $\mathbb{A}^2/\Gamma$ の最小解消は、アズマヤ構造を用いた D-brane モジュライから純粋に導けるか？
• RQ2 Polchinski-Grothendieck 予想—D-brane をアズマヤ対象として解釈すること—は、Douglas-Moore のオープン弦量子場理論で観察された解消幾何をどのように再現するか？
• RQ3 $[\mathbb{A}^2/\Gamma]$ 上の D0-brane モジュライ空間における $\Gamma$-不変部分集合は、解消を生じる過程で果たす役割は何か？
• RQ4 解消に対応する D-brane は幾何学的に可動可能か？また、特異点に閉じ込められた D-brane はどのような特徴を持つのか？

主な発見

• $C_{2}\Gamma M_r(\mathbb{C})^\circ / \mathrm{GL}_r(\mathbb{C})$ は $W$ に同型である。
• $\mathfrak{M}^{D0}_1([\mathbb{A}^2/\Gamma])$ の D0-brane モジュライスタックの粗モジュライ空間には、その関連する粗空間が $W$ である部分スタックを含む。
• $C_{2}\Gamma M_r(\mathbb{C})^\circ / \mathrm{GL}_r(\mathbb{C})$ の幾何的点は、$\mathbb{C}^r$ に正則表現を備え、$\Gamma$-不変ベクトルが $\mathbb{C}^r$ を生成するような、$\varphi: (\mathrm{pt}^{\mathrm{Az}}, \mathbb{C}^r) \to [\mathbb{A}^2/\Gamma]$ の形の準同型に対応する。
• $((\mathbb{A}^2)^{[r]})^\Gamma$ の固定点集合は $W \amalg (\text{有限個の点})$ に分解され、ここで $W$ は解消である。
• 写像 $p^W: W \to \mathfrak{M}^{D0}_1([\mathbb{A}^2/\Gamma])$ は、普遍部分スキーム $\widetilde{Z} \subset W \times \mathbb{A}^2$ によって誘導される。
• 可動 D-brane は、軌道がオルビフォルト点にないような準同型に対応する。特異点に閉じ込められた D-brane は、弦理論的意義の観点から分類されていない。