[論文レビュー] Bicategorical fibration structures and stacks

Dorette Pronk, Michael A. Warren|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、双圏 ℬ における弱同値を普遍的に逆にするが、小さな hom-圏と 2-圏的構造を保つホモトピー双圏 Ho(ℬ) を構成するために、ファイブレーション対象系とファイブレーション構造を導入する。主な結果は、サイト上のスタックの 2-圏が、関連スタックによるファイブレーション補完を用いた前スタックのホモトピー 2-圏に同値であることである。この結果は、位相的、微分的、代数的スタックに対しても応用可能である。

ABSTRACT

The familiar construction of categories of fractions, due to Gabriel and Zisman, allows one to invert a class W of arrows in a category in a universal way. Similarly, bicategories of fractions allow one to invert a collection of arrows in a bicategory. In this case the arrows are inverted in the sense that they are made into equivalences. As with categories of fractions, bicategories of fractions suffer from the defect that they need not be locally small even when the bicategory in which W lives is locally small. Similarly, in the case where W is a class of arrows in a 2-category, the bicategory of fractions will not in general be a 2-category. In this paper we introduce two notions ---systems of fibrant objects and fibration systems--- which will allow us to associate to a bicategory B a homotopy bicategory Ho(B) in such a way that Ho(B) is the universal way to invert weak equivalences in B. This construction resolves both of the difficulties with bicategories of fractions mentioned above. We also describe a fibration system on the 2-category of prestacks on a site and prove that the resulting homotopy bicategory is the 2-category of stacks. Further examples considered include algebraic, differentiable and topological stacks.

研究の動機と目的

• 双圏の分数による局所化が、元の双圏が局所的に小さな圏または 2-圏であっても、常に小さな hom-圏や 2-圏を生じないという限界を解消すること。
• 弱同値を普遍的に逆にするための形式的枠組みを、ファイブレーション対象系とファイブレーション構造を用いて提供すること。
• 関連スタックによるファイブレーション補完を用いて、スタックを前スタックのホモトピー 2-圏として特徴付けること。
• 位相的、微分的、代数的スタックを、局所的弱同値に関する共通のホモトピー的枠組みで統一的に扱うこと。
• モデル構造に類似した構造を双圏に拡張し、(∞,2)-および(∞,n)-圏理論の発展を支援すること。

提案手法

• 弱同値の族 𝒲、自己関手 Q: ℬ → ℬ（ファイブレーション補完）、および 1ℬ ⇒ Q に倣う強自然変換 η からなる、双圏 ℬ 内のファイブレーション対象系を導入する。この系は、分解条件を満たす。
• ℬ における 𝒲 に関する普遍的局所化としてホモトピー双圏 Ho(ℬ) を構成する。ℬ が小さな hom-圏を持つとき、Ho(ℬ) も同様に小さな hom-圏を持つことが保証され、ℬ が 2-圏であれば Ho(ℬ) も 2-圏である。
• ファイブレーション構造を、追加の上昇性および分解性の性質（経路対象や分解補題を含む）を持つファイブレーション対象系の強化版として定義する。
• サイト 𝒞 上の前スタックの 2-圏 PreSt(𝒞) にこの枠組みを適用し、関連スタック関手をファイブレーション補完として用いる。
• 任意の前スタック A とそのチャート e に対して、A → Q(A,e) が局所的弱同値であることを証明する。これにより、ホモトピー双圏がスタックを分類可能であることが保証される。
• 同じファイブレーション補完機構を用いて、位相的、微分的、代数的サイトにおけるスタックの 2-圏と Ho(PreSt(𝒞)) の間に同値関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元の双圏が局所的に小さな圏または 2-圏であるとき、その弱同値に関する双圏的局所化が、常に小さな hom-圏と 2-圏をもたらすように構成可能か？
• RQ2 関連スタックによるファイブレーション補完を用いて、スタックの 2-圏が前スタックのホモトピー 2-圏として特徴付けられるか？
• RQ3 ファイブレーション対象系の上に追加で何の構造が必要か、双圏内で経路対象や分解補題が保証されるか？
• RQ4 位相的、微分的、代数的設定の間で、スタック理論を共通のホモトピー的枠組みでどれほど統一できるか？
• RQ5 双圏におけるファイブレーション構造は、(∞,2)-および(∞,n)-圏理論の発展のためのモデル構造の形式的類似として機能できるか？

主な発見

• ファイブレーション対象系を備えた双圏 ℬ から構成されるホモトピー双圏 Ho(ℬ) は、ℬ が小さな hom-圏を持つ限り、常に小さな hom-圏を持つ。これは、双圏の分数における主要な欠陥を解消する。
• ℬ が 2-圏であるとき、Ho(ℬ) も 2-圏である。これは、局所化が 2-圏的構造を保つことを保証する。
• サイト 𝒞 上の前スタックの 2-圏 PreSt(𝒞) に対して、関連スタック構成が局所的弱同値に関するファイブレーション対象系を定めるファイブレーション補完を提供する。
• ホモトピー 2-圏 Ho(PreSt(𝒞)) は、𝒞 上のスタックの 2-圏 St(𝒞) と同値である。これは、スタックが局所的弱同値における前スタックの普遍的局所化であることを確立する。
• この構成は、位相的、微分的、代数的スタックに対しても同様に適用可能であり、関連スタックは任意のチャート e を持つ前スタック A に対して局所的弱同値 A → Q(A,e) を与える。
• PreSt(𝒞) 上のファイブレーション構造により、経路対象と分解補題の存在が保証され、この設定で一般化された普遍バンドルの構成が可能になる。