[論文レビュー] Big Birkhoff sums in $d$-decaying Gauss like iterated function systems

Rams, Michal, Lingmin Liao+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Mathematical Dynamics and FractalsMathematics参考文献 1被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、$d$-減衰するガウスに類似した無限反復関数系におけるバーキョフ和の等高線集合のハウスドルフ次元を調査し、連分数展開に関する先行結果を一般化する。ポテンシャル関数が多項式より速く増加する場合、バーキョフ和の与えられた増加率を示す点の集合の次元は $1/d$ であることが示され、ガウス写像に関する先行結果を拡張し、指数型増加率における $α = 1/2$ での段階的転移を確認する。

ABSTRACT

The increasing rate of the Birkhoff sums in the infinite iterated function systems with polynomial decay of the derivative (for example the Gauss map) is studied. For different unbounded potential functions, the Hausdorff dimensions of the sets of points whose Birkhoff sums share the same increasing rate are obtained.

研究の動機と目的

• 古典的ガウス写像におけるバーキョフ和の多重フラクタル解析を、広範な $d$-減衰ガウスに類似した反復関数系のクラスへ一般化すること。
• バーキョフ和が所定の速度で増加する集合のハウスドルフ次元を特定すること、特に有界でないポテンシャル関数の場合。
• 正規化関数 $\Phi(n) = \exp(n^\alpha)$ における指数型増加率 $\alpha \in [1/2, 1)$ の場合の次元推定値のギャップを解消し、$\dim_H E(\Phi) = 1/2$ を確認すること。

提案手法

• 著者らは、特定の幾何的および微分係数の減衰条件を満たす $d$-減衰ガウスに類似した反復関数系を定義し、ガウス写像を一般化する。
• 彼らは記号的力学および記号的符号化を用いて、$\mathbb{N}^\mathbb{N}$ 内の無限列による極限集合の点を表現し、基本区間をシリンダーセットに対応付ける。
• 鍵となる技術は、記号のブロック周波数に基づくシリンダーセットのネストされた集合を構築することであり、与えられた和制約を満たす許容可能なブロックの数の推定を用いる。
• 証明では質量分布法を用い、減衰率 $d$ に適合された修正された生成関数 $G(m,n,a,\varepsilon,s)$ を用いた $s$-次元ハウスドルフ測度の推定を行う。
• 上界の証明では、Lemma 2.4 および Lemma 2.5 を適用し、$s > 1/d$ のとき $s$-測度が消えることを示し、$\dim_H \leq 1/d$ を得る。下界の証明では、逆像構成を用いて $s < 1/d$ のとき正の $s$-測度を持つカントール型部分集合を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のポテンシャル関数のバーキョフ和が $d$-減衰ガウスに類似したIFSで所定の速度で増加する点の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 正規化関数 $\Phi(n)$ の増加率に依存する次元は何か、特に $\Phi(n) = \exp(n^\alpha)$ で $\alpha \in [1/2, 1)$ の場合。
• RQ3 $\alpha = 1/2$ で次元が 1 から $1/2$ にジャンプするか？また、$\alpha > 1/2$ の場合の挙動は？
• RQ4 ガウス写像に関する結果を、微分係数の多項式的減衰を示すより広いクラスの無限反復関数系へ一般化できるか？

主な発見

• $d$-減衰ガウスに類似したIFSでは、バーキョフ和が $\Phi(n)$ のように増加する点の集合 $E_\varphi(\Phi)$ のハウスドルフ次元は、$\Phi(n)$ が多項式より速く増加する場合に $1/d$ である。
• $\Phi(n) = \exp(n^\alpha)$ で $\alpha \in [1/2, 1)$ の場合、次元は $1/2$ であり、$\alpha = 1/2$ での段階的転移を確認する。
• $\Phi(n) = \exp(\beta^n)$ で $\beta > 1$ の場合、次元は $1/(\beta + 1)$ である。これは以前の結果を拡張する。
• 一般のポテンシャル関数 $\varphi$ が特定の増加および正則性条件を満たす場合、$d$-減衰仮定のもとで次元は $1/d$ である。
• 上界 $\dim_H \leq 1/d$ は、シリンダーセットの測度に関する推定を用いて、$s > 1/d$ のとき $s$-次元ハウスドルフ測度が消えることを示すことによって確立される。
• 下界 $\dim_H \geq 1/d$ は、逆像構成とブロック周波数の制御を用いて、$s < 1/d$ のとき正の $s$-測度を持つ部分集合を構成することで得られる。