[論文レビュー] Big Numbers in String Theory

A.N. Schellekens|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 44被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、初期の超弦理論における巨大数 $10^{1500}$ の起源を検討し、自由フェルミオン構成を用いた偶数自己双対格子の文脈でその導出を分析する。自由フェルミオンモデルは、次元88におけるすべてのそうした格子のうち、$10^{-370}$ 未満の指数的になく、ほとんどの偶数自己双対格子はこの手法では到達不可能であることを示しており、超弦理論のランドスケープの壮大さを強調している。

ABSTRACT

This paper contains some personal reflections on several computational contributions to what is now known as the "String Theory Landscape". It consists of two parts. The first part concerns the origin of big numbers, and especially the number $10^{1500}$ that appeared in work on the covariant lattice construction (with W. Lerche and D. Luest). This part contains some new results. I correct a huge but inconsequential error, discuss some more accurate estimates, and compare with the counting for free fermion constructions. In particular I prove that the latter only provide an exponentially small fraction of all even self-dual lattices for large lattice dimensions. The second part of the paper concerns dealing with big numbers, and contains some lessons learned from various vacuum scanning projects.

研究の動機と目的

• 1986年の自由フェルミオン構成に関する論文で導出された巨大数 $10^{1500}$ の再表現および是正された導出を試みること。
• 高次元における、自由フェルミオンモデルによって実現可能な偶数自己双対格子の割合を推定すること。
• 高次元において、自由フェルミオン構成がすべての偶数自己双対格子のうち指数的に小さい部分集合を占めることを示すこと。
• 超弦理論のランドスケープが引き起こす計算上の課題と、バーチャルスキャンにおける巨大数の役割について考察すること。
• ほとんどすべての偶数自己双対格子が自由フェルミオン手法では捉えきれないこと、したがってこの手法に根本的な制限があると主張すること。

提案手法

• 偶数ノルムと整数内積を持つ基底ベクトルの組み合わせ的数え上げを用いて、偶数自己双対格子（ESDL）の数の上界を導出する。
• ランダムなベクトルが偶数ノルムをとる確率（$\sim 1/8$）および整数内積をとる確率（$\sim 1/4$）の統計的推定を、$D_1$ 共役類からの実証的データと組み合わせて精緻化する。
• ノルムおよび内積条件の抑制係数を計算：最初の $N$ ベクトルに対しては $8^{-N}4^{-\frac{1}{2}N(N-1)}$、$M$ 個の位数2のベクトルに対しては $2^{-M}2^{-NM}$。
• これらの抑制係数を統合し、合計の上界を導出：$N=4k$ の場合、$2^{8k(2k-1)}$ となり、上界として $F_{8k} < 4k \cdot 2^{8k(2k-1)}$ が得られる。
• 置換、自己同型、基底の重複による過剰数え上げの補正を計算。$N=4k$ の場合、$(4k)!^2 2^{4k}$ を含む。$k=11$ で $10^{122}$ に達する。
• 実証的過剰数え上げ要因（$k=1,2,3$ でそれぞれ $1024$、$10^{15}$、$10^{36}$）を用いて、過剰数え上げが階乗的に増加することを推測し、$k=11$ で約 $10^{200}$ の減少要因があると推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1986年の自由フェルミオン論文で最初に導出された巨大数 $10^{1500}$ の正しい導出と大きさは何か？
• RQ2 次元88におけるすべての偶数自己双対格子のうち、自由フェルミオン法で構成可能な割合はどの程度か？
• RQ3 ノルムおよび内積分布の統計的推定は、有効な格子基底ベクトルの数え上げにどのように影響するか？
• RQ4 置換や自己同型といった過剰数え上げの対称性は、異なる自由フェルミオンモデルの実効数をどの程度まで減少させるか？
• RQ5 $k=1$ および $k=2$ の特殊ケースが、自由フェルミオン構成の完全性を誤って示すのはなぜか？

主な発見

• 巨大数 $10^{1500}$ は、自由フェルミオン構成による偶数自己双対格子の組み合わせ的推定から生じるが、元の導出には大きなが誤りが含まれるが、本研究で是正されている。
• 次元88（$k=11$）において、自由フェルミオンモデルの数の上界は約 $10^{558}$ であり、$10^{1500}$ よりも著しく小さい。
• 過剰数え上げの対称性を補正した後、$k=11$ における実効的な異なる自由フェルミオンモデルの数は、少なくとも $10^{200}$ 倍減少し、全体の過剰数え上げが $\sim 10^{200}$ であると示唆される。
• 次元88における、自由フェルミオン構成によって実現可能な偶数自己双対格子の割合は $10^{-370}$ 未満であり、これは指数的に小さい部分集合であることを示している。
• 修正を加えても、自由フェルミオン手法は高次元において、ほとんどすべての偶数自己双対格子を捉えきれない。これは組み合わせ的抑制と過剰数え上げによるものである。
• 実証的過剰数え上げ要因は $k$ と共に急速に増加し、$k=1$ および $k=2$ のケースが全ランドスケープを代表していないことが示唆される。