[論文レビュー] Birman-Murakami-Wenzl algebras for general Coxeter groups

Zhi Chen|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、KZ型接続およびLawrence-Krammer表現を用いて一般化ブラウアー代数の変形として得られる、任意のコクセター群に対して一般化されたBirman-Murakami-Wenzl (BMW)代数を導入する。主な結果として、単純連結型コクセター群の場合、新しいBMW代数がCohen, Gijsbers, Walesの古典的BMW代数と同型であることが示され、平坦でW-不変な接続を通じてアーティンのブレード群表現へ因数分解されることが証明されている。

ABSTRACT

We introduce a BMW type algebra for every Coxeter group. These new algebras are introduced as deformations of the Brauer type algebras introduced by the author, they have the corresponding Hecke algebras as quotients.

研究の動機と目的

• 対称群や単純連結型に限らない任意のコクセター群に対して、Birman-Murakami-Wenzl代数の理論を拡張すること。
• 著者によるコクセター群および擬反射群に対して以前に導入された一般化ブラウアー代数の変形を構成すること。
• 平坦でW-不変なKZ型接続を通じて、新しいBMW代数とアーティンのブレード群表現との間の関係を確立すること。
• 一般パラメータに対して、得られた代数がBMW代数の定義関係を満たし、ブレード群表現へ因数分解することを証明すること。
• パラボリック還元および二面体群の埋め込みを用いて、既知の単純連結型の結果を任意のコクセター群へ一般化すること。

提案手法

• コクセター群$ W $に対して一般化ブラウアー代数$ Br_W( ilde{ ho}) $を構成し、KZ型接続および一般化されたLawrence-Krammer表現を用いる。
• 生成元$ X_i $および$ E_i $が特定のブレード型およびイデムポテン関係を満たすBMW型代数$ B_W( ilde{ ho}, ilde{ ho}) $を、$ Br_W( ilde{ ho}) $の変形として定義する。
• 主な技術的道具は、KZ接続$ abla_W $から導かれる、$ M_W \times V $上の平坦で$ W $-不変な接続$ \rho(\nabla_W) $であり、これによりアーティンのブレード群$ A_W $の表現が誘導される。
• 表現$ T_\rho: A_W \to GL(V) $を用いて$ X_i = T_\rho(\rho_i) $および$ E_i $を$ X_i $の有理関数として定義し、パラメータ$ q_i = \text{exp}(\tau k_{s_i} \tau \tau \tau) $および$ l_i = \text{exp}(\tau \tau \tau \tau)/q_i $を導入する。
• 主定理の証明は、一般の場合を二面体部分群$ D_m $への還元により行い、同型$ A_{W_L} \to A_{D_{m_{i,j}}} $および準同型$ \bar{\rho}_L $を用いることで、二面体群の場合に既に知られている結果を応用可能にする。
• 単純連結型における古典的BMW代数との同型性は、パラメータの対応$ q = \text{exp}(\tau \tau \tau \tau) $、$ l = \text{exp}(\tau \tau \tau \tau)/q $により確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのコクセター群に対して、単純連結型に限らないBMW型代数を定義できるか？
• RQ2 著者の以前の研究における一般化ブラウアー代数をどのようにBMW代数構造に変形できるか？
• RQ3 反射超平面の補集合上のKZ接続が、アーティンのブレード群の表現を誘導し、それが新しいBMW代数へ因数分解するか？
• RQ4 コクセター群が単純連結型の場合、得られたBMW代数は古典的BMW代数と同型か？
• RQ5 新しいBMW代数の関係式は、二面体部分群への還元と、それらの表現に関する既知の結果を用いて検証可能か？

主な発見

• 本稿では、任意のコクセター群$ W $に対してBMW型代数$ B_W(\tilde{\rho}, \tilde{\rho}) $を構成し、古典的BMW代数を非単純連結型へ一般化した。
• 単純連結型コクセター群の場合、構成されたBMW代数はCohen, Gijsbers, Walesの古典的BMW代数$ B_\tau(q,l) $と同型であり、パラメータは$ q = \text{exp}(\tau \tau \tau \tau) $、$ l = \text{exp}(\tau \tau \tau \tau)/q $で関係づけられる。
• この構成は、$ M_W \times V $上の平坦で$ W $-不変な接続$ \nabla_W $に依存しており、これによりアーティンのブレード群$ A_W $の表現$ T_\rho $が誘導される。
• 一般パラメータに対して、表現$ T_\rho $は新しいBMW代数へ因数分解され、生成元$ X_i $および$ E_i $が$ B_W(\tilde{\rho}, \tilde{\rho}) $の定義関係を満たすことが保証される。
• 証明はパラボリック還元を用いる：任意の生成子の対$ s_i, s_j $に対して、$ X_i, X_j, E_i, E_j $が生成する部分代数は、既に知られている二面体群$ D_{m_{i,j}} $への還元により関係式を満たすことが示される。
• この代数はセルラーかつファイニット型では半単純であることが示され、ブラウアー代数およびBMW代数に関する以前の結果を任意のコクセター群へ拡張した。