[論文レビュー] Birman-Murakami-Wenzl type algebras for arbitrary Coxeter systems

Zhi Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2017

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ひとこと要約

本稿は、任意のディードラル・コクセター系 $I_{2}(k)$ に対して、元のBMW代数をADE型を超えて一般化する、Birman-Murakami-Wenzl (BMW) 型代数 $B_{I_{2}(k)}(m,l)$ を構成する。半単純性、セルラリティ、およびアーティン群生成子に対する3次 annihilating 多項式を確立し、 Marin の一般化されたモノドロミー表現と同型であると予想される $k$ 次元の Lawrence-Krammer 型表現を同定する。

ABSTRACT

In this paper we first present a Birman-Murakami-Wenzl type algebra for every Coxeter system of rank 2 (corresponding to dihedral groups). We prove they have semisimple for generic parameters, and having natural cellular structures. And classcify their irreducible representations. Among them there is one serving as a generalization of the Lawrence-Krammer representation with quite neat shape and the "correct" dimension. We conjecture they are isomorphic to the generalized Lawrence-Krammer representaions defined by I.Marin as monodromy of certain KZ connections. We prove these representations are irreducible for generic parameters, and find a quite neat invariant bilinear form on them. Based on above constructions for rank 2, we introduce a Birman-Murakami-Wenzl type algebra for an arbitrary Coxeter system. For every Coxeter system, the introduced algebra is a quotient of group algebra of the Artin group (associated with this Coxeter system), having the corresponding Hecke algebra as a quotient. The simple generators of the Artin group have degree 3 annihiating polynomials in this algebra.

研究の動機と目的

• 非単純的ラス型コクセター系、特に $I_{2}(k)$ 型に対して、Birman-Murakami-Wenzl代数の一般化を構成すること。
• 従来、ADE型を超えて一般化できなかった、複数の辺（非単純的ラス関係）を含むBMW型代数における課題を解決すること。
• アーティン＝ティーツ群 $A_{I_{2}(k)}$ の Lawrence-Krammer 型表現を、明確で洗練された行列形式でサポートする代数を定義すること。
• この表現が、平坦接続のモノドロミーによって定義される Marin の一般化された Lawrence-Krammer 表現と同型であると予想すること。
• 平坦接続の明示的積分を用いずに、代数的制約（セルラリティや対合）を活用して、代数の構造定数を体系的に決定する方法を提供すること。

提案手法

• ブラウアー型代数と変形制約から導かれる生成子と関係式を用いて、ディードラル・コクセター系 $I_{2}(k)$ に対して新しいBMW型代数 $B_{I_{2}(k)}(m,l)$ を定義する。
• 代数的検証と対称性の考察を用いて、特に対合とセルラリック構造の存在を保証する構造定数を予想する。
• $A_{I_{2}(k)}$ のアーティン＝ティーツ群に対する $B_{I_{2}(k)}(m,l)$ 内の $k$ 次元表現を構成し、洗練された行列形式と不変な双一次形式を備える。
• 代数が重要な代数的性質を満たすことを証明する：半単純性、セルラリティ、および自然な対合の存在。
• アーティン群生成子が代数内で3次 annihilating 多項式を満たし、対応するヘッケ代数へ自然な全射が存在することを示す。
• 基底上における $X_0X_1$ の反復作用の作用素論的解析を用いて、主要なブレードに類似した関係を検証し、中心的元 $ riangle$ がスカラー乗法として作用することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコクセター系、特に $k \neq 3$ の $I_{2}(k)$ のような非単純的ラス型に対して、Birman-Murakami-Wenzl 型代数を構成可能か？
• RQ2 半単純性、セルラリティ、およびアーティン群作用との整合性を保証するための正しい構造定数は何か？
• RQ3 得られる代数は、洗練された行列形式を持つアーティン＝ティーツ群 $A_{I_{2}(k)}$ の Lawrence-Krammer 型表現をサポートするか？
• RQ4 この表現は、平坦接続のモノドロミーによって定義される Marin の一般化された Lawrence-Krammer 表現と同型か？
• RQ5 平坦接続のモノドロミーは、明示的積分を用いずに、正しい代数的構造を導出することによって代数的に計算可能か？

主な発見

• 代数 $B_{I_{2}(k)}(m,l)$ は半単純であり、セルラリック構造を備えており、元のBMW代数の主要な代数的条件を満たす。
• 代数は、洗練された行列形式と不変な双一次形式を備えた、アーティン＝ティーツ群 $A_{I_{2}(k)}$ の $k$ 次元の非可約表現をサポートする。
• 奇数 $k = 2n+1$ の場合、表現は $2n+1$ 次元である。偶数 $k = 2n$ の場合、2つの $n$ 次元の非可約表現が存在する。
• 代数におけるアーティン群生成子は3次 annihilating 多項式を満たし、BMW型代数の特徴的性質である。
• 代数は対応するヘッケ代数 $H_{I_{2}(k)}(v)$ へ全射であり、群代数 $\bbQ[m,l^{\times}]A_{I_{2}(k)}$ の商である。
• 中心的元 $\triangle$ は表現空間上で $l_0 v_0^{-1}$ のスカラー乗法として作用し、ブレード群の関係と整合することが確認された。