[論文レビュー] Boundary Output Feedback Stabilization of Reaction-Diffusion PDEs with Delayed Boundary Measurement

Hugo Lhachemi, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意に長い遅延を伴う境界測定値を有する1次元反応拡散PDEに対して、境界出力フィードバック制御戦略を提案する。この戦略は、遅延したシステムモードを推定する有限次元オブザーバーと、遅延を補償する予測器を組み合わせており、オブザーバーの次数が十分に大きい場合には、任意の与えられた遅延に対して$H^1$ノルムにおける指数的安定性を保証する。

ABSTRACT

This paper addresses the boundary output feedback stabilization of general 1-D reaction-diffusion PDEs with delayed boundary measurement. The output takes the form of a either Dirichlet or Neumann trace. The output delay can be arbitrarily large. The control strategy is composed of a finite-dimensional observer that is used to observe a delayed version of the first modes of the PDE and a predictor component which is employed to obtain the control input to be applied at current time. For any given value of the output delay, we assess the stability of the resulting closed-loop system provided the order of the observer is selected large enough. Taking advantage of this result, we discuss the extension of the control strategy to the case of simultaneous input and output delays.

研究の動機と目的

• 境界測定値が任意に長い時間遅延する場合に、1次元反応拡散PDEを安定化する課題に対処する。
• 分布定数系のフィードバック制御において出力遅延が引き起こす不安定化リスクを克服する。
• 遅延測定値が存在する状況でも、$H^1$ノルムにおける指数的安定性を保証する制御戦略を開発する。
• 既存の入力遅延補償技術と組み合わせることで、同時に入力遅延と出力遅延を扱えるフレームワークを拡張する。
• 制御器およびオブザーバーのパラメータを数値的に検証可能なLMIベースの設計手順を提供する。

提案手法

• 遅延した境界測定値に基づいて、PDEの最初の$N_0$モードを推定する有限次元オブザーバーを設計する。
• 予測器部を用いて、遅延したオブザーバー出力をもとに現在の制御入力を再構成し、測定遅延を補償する。
• スペクトル縮約およびスケーリングに基づく手法を適用して、制御入力の時間微分を必要とせずに、ディリクレ/ノイマン境界条件を直接処理する。
• リャプノフ＝クリェゾフスキー汎関数を用いて閉ループ安定性問題を定式化し、指数的安定性のための十分なLMI条件を導出する。
• 遅延測定値をオブザーバー力学に組み込むために、状態推定値$\tilde{X}(t) = \mathrm{col}(X(t), \zeta(t - h_o))$を構築する。
• 十分に大きなオブザーバー次数$N_0$を選択することで、LMI制約の妥当性を保証し、任意の与えられた出力遅延$h_o > 0$に対して安定性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意に長い出力遅延を伴う1次元反応拡散PDEに対して、境界出力フィードバックを用いて指数的安定化が達成可能か。
• RQ2 制御入力の微分を必要とせずに、遅延した境界測定値からシステムモードを推定する有限次元オブザーバーをどのように設計できるか。
• RQ3 出力遅延を補償しつつ$H^1$ノルムにおける安定性を維持できる制御アーキテクチャは何か。
• RQ4 提案された観測器-予測器フレームワークは、同時に入力遅延と出力遅延を扱えるように拡張可能か。
• RQ5 任意の出力遅延に対して、LMIベースの安定性制約がどのような条件下で妥当性を保つのか。

主な発見

• 任意の与えられた出力遅延$h_o > 0$に対して、オブザーバー次数$N_0$が十分に大きい場合には、閉ループ系の$H^1$ノルムにおける指数的安定性が保証される。
• 定理6.1で導出されたLMI条件は、$N$を十分に大きく選択すれば常に妥当性を持つため、安定化制御器の存在が保証される。
• 提案された制御戦略により、PDE状態およびオブザーバー状態の$H^1$ノルムが、$\delta$がPDEのスペクトルギャップに関連する$2\delta > 0$のレートで指数的に減衰する。
• 本手法は、ディリクレ、ノイマン、またはロビン境界条件および測定を伴う一般の1次元反応拡散PDEに適用可能である。
• Lhachemi & Prieur (2021) の入力遅延補償法と組み合わせることで、同時に入力遅延と出力遅延を扱えるようにフレームワークを拡張可能である。
• PDE係数および初期条件が$H^2(0,1)$で適度な正則性を満たし、境界制約が整合的である限り、安定性結果は成立する。