[論文レビュー] Boundary rigidity with partial data

Plamen Stefanov, Günther Uhlmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体における部分データを用いた境界剛性について、局所的一意性と安定性を確立する。境界上の点の近傍で測定された距離関数から、厳密に凸な境界点の近傍における共形因子を一意的かつ安定に回復できることを示している。主な結果は、等方的音速が、凸点付近の境界点間を伝播する波の伝搬時間から局所的に同定可能であり、非解析的・部分データ設定への古典的結果の拡張を、非線形逆問題に対する新規な手法によって達成している。

ABSTRACT

We study the boundary rigidity problem with partial data consisting of determining locally the Riemannian metric of a Riemannian manifold with boundary from the distance function measured at pairs of points near a fixed point on the boundary. We show that one can recover uniquely and in a stable way a conformal factor near a strictly convex point where we have the information. In particular, this implies that we can determine locally the isotropic sound speed of a medium by measuring the travel times of waves joining points close to a convex point on the boundary. The local results lead to a global lens rigidity uniqueness and stability result assuming that the manifold is foliated by strictly convex hypersurfaces.

研究の動機と目的

• 境界距離データの部分的与えられた条件下で、リーマン計量を同定する逆問題に取り組むこと。特に、伝搬時間トモグラフィーの文脈において。
• 単一の境界点の近傍でのみデータが利用可能な場合に、境界剛性問題の局所的一意性と安定性を確立すること。
• Herglotz, Wieckert & Zoeppritzらの古典的音速回復結果を、非径対称的・非解析的計量に、葉層構造条件の下で拡張すること。
• 解析的仮定やグローバル仮定を必要としない、非線形部分データ逆問題を解くための新規な手法を開発すること。
• Herglotz-Wieckert & Zoeppritz 条件を満たす計量について、径対称でない場合でもレンズ剛性を示すこと。

提案手法

• 著者らは、境界点の近傍における厳密に凸な超曲面に適合した半測地座標を用い、測地線に沿った常微分方程式系への問題の簡略化を行う。
• 測地線流れとエネルギー面解析に基づく新規な技術を適用し、第二基本形式を制御し、安定性評価を導出する。
• 重要な要素として、$ \partial_r(r/c(r)) > 0 $ という条件を用いる。これは、共形計量におけるオイラー球の厳密な凸性と同値であることが示されている。
• 問題の解決には、レベル集合 $ \Sigma_t = \rho^{-1}(t) $ の有限被覆上でのコンパクトネスの議論を用い、局所的推移を近傍全体に拡張する。
• 測地線長と伝搬時間の $ O(\delta^\mu) $ の近似から、共形因子 $ c $ と $ \tilde{c} $ の $ O(\delta^\mu) $ の近似を導出する。
• 解析的仮定を避けるために、代わりに微局所的および微分幾何的道具を用いて、安定性と一意性を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン計量の共形因子は、厳密に凸な境界点の近傍における境界距離関数の制限から一意に回復可能か？
• RQ2 部分データ設定下で、距離関数の小さな摂動に対して、回復は安定か？
• RQ3 Herglotz-Wieckert & Zoeppritz 条件 $ \partial_r(r/c(r)) > 0 $ が、$ c $ が径対称でない場合でもレンズ剛性を示唆するか？
• RQ4 グローバル単純性の仮定なしに、非解析的計量と部分データを用いた境界剛性問題が解けるか？
• RQ5 古典的音速回復結果を、非径対称的で滑らかな速度に、局所的境界測定のみを用いて拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、境界距離関数が単一の厳密に凸な境界点の近傍に制限された場合、その近傍における共形因子 $ c $ が一意に決定されることを証明している。
• 回復は安定である：二つの計量の距離関数が $ O(\delta^\mu) $ のオーダーで一致するならば、対応する共形因子 $ c $ と $ \tilde{c} $ に対しても $ O(\delta^\mu) $ のオーダーで一致する。
• $ \partial_r(r/c(r)) > 0 $ という条件が、共形計量における球面の厳密な凸性と同値であることが示され、以前の結果が非径対称速度へ一般化された。
• この結果は、任意の滑らかな速度 $ c $ が Herglotz-Wieckert & Zoeppritz 条件を満たす場合、径対称性がなくてもレンズ剛性を示すことを意味する。
• 本手法により、次元 $ n \geq 3 $ において、部分データを用いた境界剛性問題について、非解析的で局所的一意性・安定性を示す初の結果が得られた。
• 多様体が厳密に凸な超曲面によって葉層構造を持つと仮定すれば、グローバルなレンズ剛性結果が得られ、局所的結果がグローバルな一意性・安定性の主張へ拡張される。