[論文レビュー] Bounds on Kolmogorov widths and sampling recovery for classes with small mixed smoothness

Vladimir Temlyakov, Tino Ullrich|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$L_\infty$ノルムにおける小さな混合滑らかさをもつ関数族のコルモゴロフ幅の新たな上界を、 dyadic周波数ブロックに適用した基本的なカットオフ作用素を用いて確立する。これらの上界は、特に$L_2$最適回復およびマルチンキエヴィッチ型離散化に対する改善されたサンプリング回復および数値積分誤差推定値を示す。

ABSTRACT

Results on asymptotic characteristics of classes of functions with mixed smoothness are obtained in the paper. Our main interest is in estimating the Kolmogorov widths of classes with small mixed smoothness. We prove the corresponding bounds for the unit balls of the trigonometric polynomials with frequencies from a hyperbolic cross. We demonstrate how our results on the Kolmogorov widths imply new upper bounds for the optimal sampling recovery in the $L_2$ norm of functions with small mixed smoothness.

研究の動機と目的

• 周波数が双曲的クロス$Q_n$に属する三角多項式部分空間のコルモゴロフ幅の鋭い上界を、$L_\infty$ノルムで導出すること。
• $L_2$ノルムにおけるコルモゴロフ幅と最適サンプリング回復の間の関係を確立すること。
• 小さな混合滑らかさをもつ関数族における数値積分誤差の新たな推定値を提供すること。
• 双曲的クロス多項式の既知のエントロピー数上界に対する、より単純な代替証明を提示すること。
• 古典的な大きな滑らかさの結果を超える新しい技術を要する、小さな混合滑らかさの課題に取り組むこと。

提案手法

• $\mathcal{T}(Q_n)$、すなわち双曲的クロス$Q_n$に周波数をもつ三角多項式の空間における関数の周波数ブロックに、 dyadicカットオフ作用素を適用する。
• 双曲的クロスの構造を活用して、ニコルスキー型不等式を用いて$L_\infty$ノルムを$L_p$ノルムで制御する。
• カールの不等式を用いてコルモゴロフ幅とエントロピー数を関連させ、上界の移行を可能にする。
• 混合滑らかさクラス$\mathbf{W}^r_p$の上界を、双曲的クロス多項式部分空間との関係から導出する。
• 既知のサンプリング離散化およびマルチンキエヴィッチ定理の結果を用いて、エントロピーおよび幅の上界を実用的な回復および積分スキームに結びつける。
• 従来の深い関数解析的手法とは対照的に、既知のエントロピー数上界の自己完結的で単純な証明を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L_\infty$ノルムにおける、双曲的クロスに周波数をもつ三角多項式部分空間のコルモゴロフ幅の最適上界は何か？
• RQ2 これらの幅上界は、$L_2$ノルムにおける最適サンプリング回復の誤差推定値にどのように翻訳されるか？
• RQ3 同じ上界を用いて、小さな混合滑らかさをもつ関数族における数値積分の誤差推定値を改善できるか？
• RQ4 従来の深い関数解析的手法とは対照的に、双曲的クロス多項式の既知のエントロピー数上界に対するより単純で基本的な証明は可能か？
• RQ5 小さな混合滑らかさにおいて、幅および回復誤差が滑らかさ$r$、次元$d$、サンプルサイズ$m$にどのように依存するかの正確な依存関係は何か？

主な発見

• $2 \leq p < \infty$に対して、コルモゴロフ幅は$d_m(\mathcal{T}(Q_n)_p, L_\infty) \leq C(p,d)(2^n/m)^{1/p} n^{(d-1)(1-1/p)+1/p}$を満たし、これは双曲的クロス部分空間に対して鋭い上界を提供する。
• 混合滑らかさクラス$\mathbf{W}^r_p$（$1/p < r < 1/2$、$2 < p \leq \infty$）に対して、幅は$d_m(\mathbf{W}^r_p, L_\infty) \leq C(p,d,r) m^{-r} (\log m)^{(d-2)(1-r)+1}$を満たす。
• 端点の場合$r = 1/2$では、上界は$d_m(\mathbf{W}^{1/2}_p, L_\infty) \leq C(p,d) m^{-1/2} (\log m)^{d/2} (\log \log m)^{3/2}$に変わる。
• これらの幅上界は、$L_2$ノルムにおける最適サンプリング回復の新たな上界を示し、既知の最良の結果と一致する誤差率を達成する。
• 結果として、数値積分の誤差推定値が改善され、$1/p < r < 1/2$に対して$\kappa_m(\mathbf{W}^r_p) \asymp m^{-r} (\log m)^{(d-1)/2}$が得られ、既知の下界と一致する。
• 従来の深い関数解析によって得られていた$\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_p, L_\infty) \ll (|Q_n|/k)^{1/p} n^{(d-1)(1-2/p)+1/p}$のエントロピー数上界に対する、代替的で基本的な証明が提供される。