[論文レビュー] On optimal recovery in $L_2$

Vladimir Temlyakov|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、最近の $L_2$ における有限次元部分空間に対する離散化結果を活用して、$L_2$ ノルムにおける最適回復誤差が、一様ノルムにおけるコルモゴロフ幅によって上から有界であることを示す基本的な不等式を確立する。主な貢献は、回復誤差と一様ノルム幅の間を結ぶ一般化された境界を提供することであり、これにより混合滑らかさを有する関数族に対して重み付き最小二乗法アルゴリズムを用いた強力な誤差推定が可能になる。

ABSTRACT

We prove that the optimal error of recovery in the $L_2$ norm of functions from a class $\bF$ can be bounded above by the value of the Kolmogorov width of $\bF$ in the uniform norm. We demonstrate on a number of examples of $\bF$ from classes of functions with mixed smoothness that the obtained inequality provides a powerful tool for estimating errors of optimal recovery.

研究の動機と目的

• 最適回復誤差の一般上界を、一様ノルムにおけるコルモゴロフ幅を用いて $L_2$ で確立すること。
• 重み付き最小二乗法アルゴリズムが $L_2$ 回復において最適性を達成する有効性を示すこと。
• 主な不等式を混合滑らかさを有する関数族に適用し、具体的な誤差推定を提供すること。
• $L_2$ 回復誤差の境界と、有限次元部分空間における $L_2$ の深いつながりのある離散化結果を結びつけること。

提案手法

• 重み付きサンプリングによる有限次元部分空間上での $L_2$ ノルムの離散化を用い、[16]、[7]、[12] の最近の結果に依存する。
• $\ell p\mathbf{w}(\xi)$ として知られる重み付き最小二乗法アルゴリズムを適用し、サンプリング誤差の重み付き $\ell_p$ ノルムを最小化する。
• $L_p$ ノルムにおける最良近似作用素として、チエビシェフ射影 $P_{X_N,p}(f)$ を用いる。
• 絶対定数を含む重要な不等式を介して、回復誤差 $\varrho_{m}(\mathbf{F},L_2)$ とコルモゴロフ幅 $d_n(\mathbf{F},L_\infty)$ の間の関係を確立する。
• 一様重みによるサンプリング離散化を保証するため、正規直交系に対する条件 E(t) に依存する。
• 定理 4.2（一様重みによる離散化）を用いて、古典的最小二乗法アルゴリズム向けの主結果の変種を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適回復誤差が $L_2$ で一様ノルムにおけるコルモゴロフ幅によって有界に抑えられるか。
• RQ2 重み付き最小二乗法アルゴリズムは、$L_2$ 回復の誤差境界においてどのように機能するか。
• RQ3 離散化結果は、$L_2$ 回復と一様ノルム幅を結ぶ上で果たす役割は何か。
• RQ4 主な不等式は $p \neq 2$ の $L_p$ ノルムへ拡張可能か。
• RQ5 この結果は、混合滑らかさを有する関数族にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 最適回復誤差は、ある絶対定数 $b, B > 0$ を用いて $\varrho_{bn}(\mathbf{F},L_2) \leq B d_n(\mathbf{F},L_\infty)$ を満たし、$L_2$ 回復と一様ノルム幅を結ぶ。
• この結果は、混合滑らかさを有する関数族における回復誤差推定の強力なツールを提供する。
• 一様重みを用いた古典的最小二乗法では、条件 E(t) の下で $\varrho_{bn}^{ls}(\mathbf{F},L_2) \leq B d_n^{E(t)}(\mathbf{F},L_\infty)$ の境界が成り立つ。
• 定理 4.1 の離散化結果により、$1 \leq p \leq 2$ の $L_p$ への拡張が可能であるが、$p > 2$ については類似の結果は知られていない。
• 不等式は、ソボレフ型関数族における既知の回復レートの正しいオーダーを捉えているという意味で鋭い。
• この手法は、$\mathcal{C}(\Omega)$ 内の任意のコンactかつ中心対称な関数族に適用可能で、ロバストである。