[論文レビュー] Bounds on MAXCUT QAOA performance for p>1

Jonathan Wurtz, Peter J. Love|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、3正則グラフにおけるMAXCUTに対する量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）の最悪ケース性能バウンドを改善し、p=2の場合は下限0.7559を示し、p=3の場合は少なくとも0.7924のバウンドを予想している。さらに、区別不能性の議論を用いて、最悪ケース近似比の上界を導出し、特定のグラフクラスではp<6では量子優位性が得られないことを示している。

ABSTRACT

We obtain worst case performance guarantees for $p=2$ and $3$ QAOA for MAXCUT on uniform 3-regular graphs. Previous work by Farhi et al obtained a lower bound on the approximation ratio of $0.692$ for $p=1$. We find a lower bound of $0.7559$ for $p=2$, where worst case graphs are those with no cycles $\leq 5$. This bound holds for any 3 regular graph evaluated at particular fixed parameters. We conjecture a hierarchy for all $p$, where worst case graphs have with no cycles $\leq 2p+1$. Under this conjecture, the approximation ratio is at least $0.7924$ for all 3 regular graphs and $p=3$. In addition, using a simple indistinguishability argument we find an upper bound on the worst case approximation ratio for all $p$, which indicates classes of graphs for which there can be no quantum advantage for at least $p<6$.

研究の動機と目的

• p>1の3正則グラフにおけるQAOAのMAXCUTに対する厳密な最悪ケース性能保証を確立すること。
• QAOA性能を最小化するグラフ構造、特に短いサイクルのないものを特定すること。
• 一般のpに対して、サイクル長（≤2p+1）に基づいた最悪ケースグラフの階層を予想すること。
• 最悪ケース近似比の上界を導出し、p<6のとき量子優位性が得られないグラフクラスを特定すること。

提案手法

• 著者たちは、p=2およびp=3の固定で最適なパラメータを用いて、3正則グラフにおけるQAOA性能を分析している。
• 最悪ケースグラフは、p=2では長さ≤5のサイクルを含まないものであり、一般のpについては長さ≤2p+1のサイクルを含まないと予想している。
• すべてのpにわたる最悪ケース近似比の上界を導くために、単純な区別不能性の議論を適用している。
• 3正則グラフの対称性と局所的構造を活用して、QAOAアーンザの期待エネルギーをバウンドしている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p=2のとき、3正則グラフにおけるMAXCUTに対するQAOAの最悪ケース近似比は何か？
• RQ2 QAOA性能の最悪ケースグラフは、pの値にどのように依存するか？
• RQ3 サイクル長の制限に基づいて、一般の最悪ケースグラフの階層を予想できるか？
• RQ4 量子優位性を排除するために、最悪ケース近似比にどの程度の上界を設定できるか？
• RQ5 p<6のとき、MAXCUTにおけるQAOAで量子優位性が得られないグラフクラスは何か？

主な発見

• p=2のとき、3正則グラフにおけるQAOAの最悪ケース近似比は、長さ≤5のサイクルを含まないグラフで0.7559以上に下界される。
• p=3のとき、最悪ケースグラフが長さ≤7のサイクルを含まないとする仮定の下で、近似比は少なくとも0.7924である。
• 著者たちは、一般のpに対して、最悪ケースグラフが長さ≤2p+1のサイクルを含まないとする階層を予想している。
• 区別不能性の議論を用いて最悪ケース近似比の上界が導出され、特定のグラフクラスではp<6では量子優位性が得られないことが示唆されている。
• 結果から、QAOAの性能は特に短いサイクルの有無に強く依存することが示唆されている。