[論文レビュー] Braid relations for involution words in affine Coxeter groups

Eric Marberg|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、有限およびアフィン・コクセター群における自己同型を伴うインボリューション語をスパンおよび保存する最小のブレード関係の集合を特定するアルゴリズムを提示する。標準的なブレード関係に最小の「ハーフブレード」関係を追加することで、スパン集合が完全になるケースを分類し、型 $A_n$ や $ ilde{A}_n$ の非ねじれ系において完全なブレード性を証明するとともに、ランク 2 または 3 のアフィン型に対しても同様の結果を得る。

ABSTRACT

We describe an algorithm to identify a minimal set of "braid relations" which span and preserve all sets of involution words for twisted Coxeter systems of finite or affine type. We classify the cases in which adding the smallest possible set of "half-braid" relations to the ordinary braid relations produces a spanning set: in the untwisted case, this occurs for the Coxeter systems which are finite with rank two or type $A_n$, or affine with rank three or type $ ilde A_n$. These results generalize recent work of Hu and Zhang on the finite classical cases.

研究の動機と目的

• 有限またはアフィン型のねじれコクセター系において、すべてのインボリューション語をスパンおよび保存する最小のブレード関係の集合を特定すること。
• 通常のブレード関係に最小の「ハーフブレード」関係の集合を追加することで、インボリューション語のスパン集合が完全になるケースを分類すること。
• 胡と張による有限古典的ケースに関する先行結果を、より広い範囲のアフィンおよび有限コクセター系に一般化すること。
• ねじれコクセター系が「完全にブレードされる」（すなわち、インボリューション語の集合が組み合わせ的関係の下での同値類である）ための条件を確立すること。
• パラボリック構成と有界埋め込みを用いた、このような関係を決定するアルゴリズム的フレームワークを提供すること。

提案手法

• 長さ $m$ が $m(s,t)$ より小さい交互列を持つ対称な語関係 $(r_1,\dots,r_k,s,t,s,\dots)\sim(r_1,\dots,r_k,t,s,t,\dots)$ の形をとる「ハーフブレード」関係の概念を導入する。
• 両方の交互列があるねじれ自己同型 $z$ に対して $\hat{\mathcal{R}}_*(z)$ に属する場合に生じる一般化されたハーフブレード関係を定義する。
• コクセター図の部分グラフたるパラボリック構成に基づくアルゴリズムを用いて、関係を体系的に生成および検証する。
• 小さなねじれ系を大きな系に有界に埋め込むことで、問題を有限個のケースに還元する。
• 理論的還元が失敗する小規模なランクケースについては、先行研究の実装を用いて計算的検証を行う。
• ねじれ自己同型の理論およびコクセター図の構造を活用し、一般化されたハーフブレード関係が十分であるケースを分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限およびアフィンねじれコクセター系において、通常のブレード関係とハーフブレード関係の集合が、すべてのインボリューション語をスパンおよび保存するか？
• RQ2 このような系において、インボリューション語のスパン集合を完全にするために必要な最小のハーフブレード関係の集合は何か？
• RQ3 どのケースで、通常のブレード関係にハーフブレード関係を追加することで、完全にブレードされた系が得られるか？
• RQ4 どのようにして、アフィン・コクセター群におけるインボリューション語を保存するすべてのブレード関係の集合をアルゴリズム的に特定できるか？
• RQ5 どのパラボリック構成が、与えられたねじれコクセター系におけるすべての関連する関係をカバーするのに十分か？

主な発見

• ねじれコクセター系 $(W,S,*)$ が完全にブレードされるのは、通常のブレード関係とハーフブレード関係の結合集合が、すべての $w \in \mathcal{I}_*$ に対して $\hat{\mathcal{R}}_*(w)$ をスパンおよび保存するときである。
• 非ねじれ系（$*=\mathrm{id}$）では、ランク 2 または型 $A_n$ の有限系、およびランク 3 または型 $ ilde{A}_n$ のアフィン系において完全なブレード性が成立する。
• $\tilde{A}_n$（$n>9$）では、${}^2A_8$、${}^2A_9$、…、${}^2A_{16}$、および ${}^2(A_8\times A_8)$ のパラボリック構成によってカバーされ、アルゴリズムの適用が保証される。
• $\tilde{D}_n$（$n>20$）では、$n$ の偶奇に応じて、${}^2(A_8\times A_8)$、${}^2(D_7\times D_7)$、${}^2(D_9\times D_9)$ などの構成によってカバーされる。
• 十分に大きな $n$ のすべてのケースでは、定理 4.13 および 5.2 を用いた有界埋め込みにより結果が得られる。小規模なケースは、既存の実装を用いた計算的検証により確認されている。
• アルゴリズムは、すべての有限およびアフィン系において、最小で重複のない関係の集合を的確に特定でき、$A_n$ および $ ilde{A}_n$ に関する先行結果を一般化している。