[論文レビュー] $C^*$-algebras and Fell bundles associated to a textile system

Valentin Deaconu|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、 Wangタイルを用いた有限型2次元シフトをモデル化するための組合せ的構造たるテキスタイル系に関連する $C^*$-代数およびフェルバンドルを導入する。テキスタイル系から導かれる1次元シフトから、2つの族のグラフ $C^*$-代数 $\mathcal{A}(m,n)$ および $\bar{\mathcal{A}}(m,n)$ を構成することで、力学的複雑性を符号化するK理論不変量を計算し、パスリフト性の条件下で群体の準同型およびフェルバンドルを定義し、2次元シフト系の構造を捉える。

ABSTRACT

The notion of textile system was introduced by M. Nasu in order to analyze endomorphisms and automorphisms of topological Markov shifts. A textile system is given by two finite directed graphs $G$ and $H$ and two morphisms $p,q:G o H$, with some extra properties. It turns out that a textile system determines a first quadrant two-dimensional shift of finite type, via a collection of Wang tiles, and conversely, any such shift is conjugate to a textile shift. In the case the morphisms $p$ and $q$ have the path lifting property, we prove that they induce groupoid morphisms $π, ρ:Γ(G) o Γ(H)$ between the corresponding étale groupoids of $G$ and $H$. We define two families ${\mathcal A}(m,n)$ and $\bar{\mathcal A}(m,n)$ of $C^*$-algebras associated to a textile shift, and compute them in specific cases. These are graph algebras, associated to some one-dimensional shifts of finite type constructed from the textile shift. Under extra hypotheses, we also define two families of Fell bundles which encode the complexity of these two-dimensional shifts. We consider several classes of examples of textile shifts, including the full shift, the Golden Mean shift and shifts associated to rank two graphs.

研究の動機と目的

• 2次元有限型シフトと作用素代数との間の関係をテキスタイル系を用いて確立すること。
• テキスタイル系に関連する1次元シフトから導かれる $C^*$-代数不変量（$\mathcal{A}(m,n)$, $\bar{\mathcal{A}}(m,n)$）を定義し、計算すること。
• 追加の構造的条件の下で、2次元シフトの複雑性を符号化するフェルバンドルを導入すること。
• 1次元シフトおよびランク $d$ グラフの既知の結果を、組合せ的および代数的道具を用いて2次元ケースに一般化すること。

提案手法

• テキスタイル系から導かれる1次元シフトから、2つの族の $C^*$-代数 $\mathcal{A}(m,n)$ および $\bar{\mathcal{A}}(m,n)$ をグラフ代数として構成する。
• 射 $p,q: G \to H$ のパスリフト性を用いて、グラフのエタール群体 $\Gamma(G)$ と $\Gamma(H)$ 間の群体の準同型 $\pi, \rho: \Gamma(G) \to \Gamma(H)$ を誘導する。
• $p,q$ と $s,r$ の役割を入れ替えることで、双対的テキスタイル系 $\bar{T} = (\bar{G}, \bar{H}, s, r)$ を定義し、代替的なグラフ構造を生成する。
• グラフ $C^*$-代数およびフェルバンドル理論の技術を適用して、2次元シフトの代数的構造を分析する。
• 特に推移的かつ非置換条件の下で、構成された $C^*$-代数のK理論を2次元シフトの不変量として用いる。
• 全シフト、ゴールデンメーンシフト、ランク2グラフシフトなどの具体的な例を分析し、構成法および不変量の性質を説明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、テキスタイル系を介して $C^*$-代数を2次元有限型シフトに体系的に関連付けることができるか？
• RQ2 パスリフト性が、関連するグラフのエタール群体間の群体の準同型を誘導する役割を果たすのはどのような条件下か？
• RQ3 構成された $C^*$-代数 $\mathcal{A}(m,n)$ および $\bar{\mathcal{A}}(m,n)$ のK理論群が、2次元シフトの不変量として果たす役割は何か？
• RQ4 どのような条件下で、フェルバンドルを定義してテキスタイルシフトの力学的複雑性を符号化できるか？
• RQ5 既知の例において、$C^*$-代数から得られる不変量は、エントロピー やゼータ関数といった古典的不変量とどのように比較できるか？

主な発見

• $\mathcal{A}(m,n)$ および $\bar{\mathcal{A}}(m,n)$ の $C^*$-代数は、テキスタイル系から導かれる1次元シフトからグラフ代数として構成され、2次元シフトと作用素代数の間の橋渡しを果たす。
• 射 $p$ および $q$ がパスリフト性を満たす場合、グラフ $G$ と $H$ のエタール群体 $\Gamma(G)$ と $\Gamma(H)$ 間に群体の準同型 $\pi, \rho: \Gamma(G) \to \Gamma(H)$ が誘導される。
• $\mathcal{A}(m,n)$ および $\bar{\mathcal{A}}(m,n)$ のK理論群は、2次元シフトの不変量として機能し、特に全シフトやゴールデンメーンシフトのような特定のケースで明示的な計算が行われている。
• 追加の仮定の下でフェルバンドルが定義され、群体 $C^*$-代数の一般化である代数的構造を通じて2次元シフトの複雑性が符号化されている。
• 構成は、ランク $d$ グラフの既知の結果を一般化し、作用素代数的手法を用いた高次元シフトの研究のためのフレームワークを提供する。
• 全シフト、ゴールデンメーンシフト、ランク2グラフシフトなどの例は、構成された代数の適用可能性および不変性の性質を示している。