[論文レビュー] Canonical metric on the space of symplectic invariant tensors and its applications

Shigeyuki Morita|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、曲面の1次ホモロジーのテンソル冪におけるシンプレクティック不変量の空間に標準的内積を導入し、対称群の完全な直交分解を可能にする。主な結果は、すべての genus にわたって有効な、モジュライ空間のコホロロジーにおける Mumford-Morita-Miller トロピカルクラスの関係の体系的分類であり、シンプレクティックテンソル不変量上の標準的計量の固有値を用いて実現される。

ABSTRACT

Let $Σ_g$ be a closed oriented surface of genus g and let $H_\mathbb{Q}$ denote $H_1(Σ_g;\mathbb{Q})$ which we understand to be the standard symplectic vector space over $\mathbb{Q}$ of dimension $2g$. We introduce a canonical metric on the space $(H_\mathbb{Q}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}}$ of symplectic invariant tensors by analyzing the structure of the vector space $\mathbb{Q}\mathcal{D}^{\ell}(2k)$ generated by linear chord diagrams with $2k$ vertices. This space, equipped with a certain inner product, serves as a universal model for $(H^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}}$ for any $g$. We decompose $\mathbb{Q}\mathcal{D}^\ell(2k)$ as an orthogonal direct sum of eigenspaces $E_λ$ where $λ$ is indexed by the set of all the Young diagrams with $k$ boxes. We give a formula for the eigenvalue $μ_λ$ of $E_λ$ and thereby we obtain a complete description of how the spaces $(H_\mathbb{Q}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}}$ degenerate according as the genus decreases from the stable range $g\geq k$ to the last case $g=1$ with the largest eigenvalue $2g(2g+1) \cdots (2g+k-1)$. As an application of our canonical metric, we obtain certain relations among the Mumford-Morita-Miller tautological classes, in a systematic way, which hold in the tautological algebra in cohomology of the moduli space of curves. We also indicate other possible applications such as characteristic classes of transversely symplectic foliations and a project with T. Sakasai and M. Suzuki where we study the structure of the symplectic derivation Lie algebra.

研究の動機と目的

• $ H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k} $ におけるシンプレクティック不変量の空間に標準的内積を定義すること、ここで $ H_{\mathbb{Q}} = H_1(\Sigma_g; \mathbb{Q}) $ である。
• この空間をヤング図で添字づけられた対称群 $ \mathfrak{S}_{2k} $ の直交不変な既約表現に分解すること。
• モジュライ空間のコホロロジーにおける Mumford-Morita-Miller トロピカルクラスの関係を体系的に導出すること、$ \mathcal{M}_g $ である。
• $ g $ が安定範囲から $ g=1 $ に減少するに従い、シンプレクティック不変量の空間がどのように退化するかの genus 依存的記述を提供すること。
• ハーモニック代表元のための基礎を築くこと、特に $ \mathfrak{h}_{g,1} $ や Gel'fand-Fuks コホロロジーを含むシンプレクティックリー代数およびコホロロジー理論において。

提案手法

• $ H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k} $ 上に対称な双一次形式 $ \mu^{\otimes 2k} $ を定義し、これは $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q}) $-不変部分空間 $ (H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}} $ に正定値内積として制限される。
• 頂点数 $ 2k $ の線形チャネル図から生成されるベクトル空間 $ \mathbb{Q}\mathcal{D}^\ell(2k) $ の構造を解析し、標準的計量を構成する。
• 直交分解 $ (H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}} \cong \bigoplus_{|\lambda|=k, h(\lambda)\leq g} U_\lambda $ を確立し、各 $ U_\lambda $ は $ \mathfrak{S}_{2k} $-モジュールとして $ (\lambda^\delta)_{\mathfrak{S}_{2k}} $ に同型である。
• 各 $ U_\lambda $ の成分における計量の固有値を用いて、$ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_g) $ 内のトロピカルクラスの消滅関係を導出する。
• $ g \leq 3k-1 $ に対して明示的な関係を計算し、トロピカル代数が最初の $ [g/3] $ 個の MMM クラスによって生成されることを示す。
• ハーモニック代表元を研究するための枠組みを提示し、$ \mathfrak{h}_{g,1} $ や Gel'fand-Fuks コホロロジーを含むシンプレクティックリー代数における標準的計量を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ g \geq k $ から $ g=1 $ に減少するに従い、$ H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k} $ 内の $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Q}) $-不変テンソルの空間はどのように分解されるか？
• RQ2 $ (H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}} $ に存在する標準的内積構造は何か？ そして、$ \mathfrak{S}_{2k} $ の表現論とどのように関係するか？
• RQ3 標準的計量を用いて、$ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_g) $ 内の Mumford-Morita-Miller トロピカルクラスの完全な関係集合を導出可能か？
• RQ4 各成分 $ U_\lambda $ における計量の固有値が、トロピカル代数の構造を決定する役割を果たすか？
• RQ5 標準的計量を用いて、$ \mathfrak{h}_{g,1} $ のようなシンプレクティックリー代数のコホロロジークラスのハーモニック代表元を定義可能か？

主な発見

• $ (H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}} $ 上の標準的内積は正定値であり、$ |\lambda|=k $ かつ $ h(\lambda) \leq g $ を満たす各 $ U_\lambda \cong (\lambda^\delta)_{\mathfrak{S}_{2k}} $ への完全な直交分解を誘導する。
• $ (H_{\mathbb{Q}}^{\otimes 2k})^{\mathrm{Sp}} $ の次元は $ \sum_{|\lambda|=k, h(\lambda)\leq g} \dim(\lambda^\delta)_{\mathfrak{S}_{2k}} $ で与えられ、$ g=1 $ のときの次元は $ k $-番目のカタラン数 $ \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} $ に等しい。
• $ g \leq 3k-1 $ のとき、$ \mathcal{R}^{2k}(\mathcal{M}_g) $ 内で関係 $ \alpha_{\bar{\Gamma}_\xi} = 0 $ が成り立つ。ここで $ \xi $ は $ E_{[3k]} $ の非自明な元であり、固有値 $ \mu_{[3k]} = 2g(2g-2)\cdots(2g-6k+2) $ が重要な役割を果たす。
• $ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_g) $ は最初の $ [g/3] $ 個の Mumford-Morita-Miller クラスによって生成され、$ \lambda = [3k], [3k-1,1], [3k-2,2] $ などの $ g $ の減少に伴う関係の消滅により示される。
• 標準的計量は、トロピカルクラスの関係を体系的に導出するための方法を提供する。最初のケース $ \lambda = [3k] $ は、$ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_g) $ が最初の $ [g/3] $ 個の MMM クラスによって生成されることを示唆する。
• 本稿では、導出された関係が $ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_g) $ および $ \mathcal{R}^*(\mathcal{M}_{g,*}) $ に対して完全な集合であると予想し、シンプレクティックテンソル不変量とトロピカル関係の間の深い構造的関係を示唆する。