[論文レビュー] Capping off open books and the Ozsvath-Szabo contact invariant

John A. Baldwin|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、capping-off 3次元多様体の $HF^+$ と元の多様体の間で $U$-不変写像を確立し、Ozsváth-Szabó の接触不変量 $c^+$ が、open book の境界成分の capping-off に対して保存されることを示している。主な結果は、$c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi)$ を $c^+(S_{g,r},\phi)$ に写すコバーディズム誘導写像であり、これは、複数の境界成分をもつ genus one の open book における緊密性および symplectic fillability に対する新しい障害を可能にする。

ABSTRACT

If (S,h) is an open book with disconnected binding then we can form a new open book (S',h') by capping off one of the boundary components of S with a disk. We define a U-equivariant map on Heegaard Floer homology which sends c^+(S',h') to c^+(S,h), and we discuss various applications. In particular, we determine the support genera of almost all contact structures compatible with genus one, one boundary component open books. In addition, we compute the 3-dimensional invariant associated to any contact structure with non-vanishing contact invariant which is compatible with a genus one open book with periodic monodromy.

研究の動機と目的

• open book 分解における境界成分の capping-off が、Ozsváth-Szabó の接触不変量に与える幾何的効果を理解すること。
• capping-off コバーディズムの $HF^+$ と元の多様体の間の標準的写像を Heegaard Floer homology に確立すること。
• この写像を用いて、複数の境界成分をもつ genus one の open book に実装された接触構造の緊密性および symplectic fillability に対する新しい障害を導出すること。
• genus one、1つの境界成分をもつ open book に適合する接触構造のサポート生成を決定すること。
• 周期的モノドロミーをもつ genus one の open book に実装されたすべての緊密接触構造の $d_3$ 不変量を計算すること。

提案手法

• capped-off 境界に対応する結合部に沿って 0-フレームの 2-ハンドルを付加することにより、$-M_{S_{g,r-1},\tilde\phi}$ から $-M_{S_{g,r},\phi}$ への 2-ハンドルコバーディズム $W$ を構成する。
• $W$ 上に $\text{Spin}^c$ 構造 $\mathfrak{s}_0$ を定義し、Heegaard Floer homology における誘導写像 $F^{+}_{W,\mathfrak{s}_0}: HF^{+}(-M_{S_{g,r-1},\tilde\phi}) \to HF^{+}(-M_{S_{g,r},\phi})$ を用いる。
• この写像が接触不変量 $c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi)$ を $c^+(S_{g,r},\phi)$ に写すこと、したがって $U$-不変関係を確立することを証明する。
• この写像を用いて、特に genus one の open book において、$c^+$ の消滅に関する帰結を導出する。
• 結果を用いて、周期的モノドロミーをもつ genus one の open book に実装されたすべての緊密接触構造の $d_3(\xi)$ を計算する。
• 写像と既知の pseudo-Anosov 同相の結果を組み合わせ、$c^+(\xi)$ がすべての $d \in \mathbb{N}$ に対して $U^d$ の像にある条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 capping-off によって、Heegaard Floer homology における Ozsváth-Szabó の接触不変量の非消滅性が保存されるか？
• RQ2 capping-off コバーディズムによって誘導される $HF^+$-写像が、緊密性または symplectic fillability に対する新しい障害を提供できるか？
• RQ3 genus one、1つの境界成分をもつ open book に適合する接触構造のサポート生成は何か？
• RQ4 周期的モノドロミーをもつ genus one の open book に実装された緊密接触構造の $d_3$ 不変量はどのように振る舞うか？
• RQ5 分数 Dehn ツイスト係数にどのような条件下で、$c^+(\xi)$ がすべての $d \in \mathbb{N}$ に対して $U^d$ の像にあるか？

主な発見

• $c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi)$ を $c^+(S_{g,r},\phi)$ に写す $U$-不変写像 $F^{+}_{W,\mathfrak{s}_0}: HF^{+}(-M_{S_{g,r-1},\tilde\phi}) \to HF^{+}(-M_{S_{g,r},\phi})$ が存在し、capping-off における標準的関係を確立する。
• $c^+(S_{g,r-1},\tilde\phi) = 0$ ならば、$c^+(S_{g,r},\phi) = 0$ であるため、接触不変量の消滅に対する障害が得られる。
• genus one の open book で $r$ 個の境界成分をもち、各境界に正確に2つの特異点をもつ pseudo-Anosov モノドロミーをもつ場合、任意の分数 Dehn ツイスト係数が 1 より小さいならば、$c^+(\xi)$ はすべての $d \in \mathbb{N}$ に対して $U^d$ の像にある。
• 周期的モノドロミーをもつ genus one の open book に実装されたすべての緊密接触構造の $d_3$ 不変量が計算されている。
• 本稿は、genus one、1つの境界成分をもつ open book に適合する接触構造のサポート生成の分類を提供している。
• $c^+(\xi)$ が $U^d$ の像の外にあることと、$b_2^+ > 0$ をもつ強い symplectic fillability との間の関係を示唆する予想が提示されている。この予想は、特定のフォリエーションおよびモノドロミー条件の下で成り立つ。