[論文レビュー] Comultiplicativity of the Ozsvath-Szabo contact invariant

John A. Baldwin|ArXiv.org|Feb 21, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ヘーガードフローホモロジーにおけるオルツヴァース＝ツァボ接触不変量に、コムルティプリケーション構造を確立し、開図式モノドロミーの合成において、両因子の不変量が非ゼロであれば、合成の不変量も非ゼロであることを示している。この結果により、タイト性（または可埋漬性）がモノドロミーの合成のもとで保存されることを示し、$HF^+$-に基づく不変量を用いて$L$-空間および平面的開図式の障害へと拡張される。

ABSTRACT

Suppose that S is a surface with boundary and that g and h are diffeomorphisms of S which restrict to the identity on the boundary. Let Y_g, Y_h, and Y_{hg} be the three-manifolds with open book decompositions given by (S,g), (S,h), and (S,hg), respectively. We show that the Ozsvath-Szabo contact invariant is natural under a comultiplication map on Heegaard Floer homology. It follows that if the contact invariants associated to the open books (S, g) and (S, h) are non-zero then the contact invariant associated to the open book (S, hg) is also non-zero. We extend this comultiplication to a map on HF^+, and as a result we obtain obstructions to the three-manifold Y_{hg} being an L-space. We also use this to find restrictions on contact structures which are compatible with planar open books.

研究の動機と目的

• 開図式分解から生じる3次元多様体のヘーガードフローホモロジーに、コムルティプリケーション写像を確立すること。
• 接触不変量$c(S, hg)$が、$c(S, g)$と$c(S, h)$がともに非ゼロであれば非ゼロであることを証明し、タイト性／可埋漬性が合成のもとで保存されることを示すこと。
• $HF^+$へのコムルティプリケーションの拡張を行い、$Y_{hg}$が$L$-空間でない、または平面的開図式を支持しないことの障害を導出すること。
• $c^+$不変量と$\text{spin}^c$構造を用いて、スティーン可埋漬性および平面的適合性に対する新たな障害を提供すること。

提案手法

• 境界$-Y_g - Y_h + Y_{hg}$をもつコブラジスム$X_{g,h}$を構成し、チェーン写像$m: \t{CF}(Y_g) \t{CF}(Y_h) \to \t{CF}(Y_{hg})$を誘導する。
• $\t{Hom}_{\t{Z}_2}(-, \t{Z}_2)$関手を適用して、コムルティプリケーション写像$\mu: \t{CF}(-Y_{hg}) \to \t{CF}(-Y_g) \otimes \t{CF}(-Y_h)$を得る。
• ホモロジー上の誘導写像$\tilde{\mu}$が$\tilde{\mu}(c(S, hg)) = c(S, g) \otimes c(S, h)$を満たすことを示し、コムルティプリケーション性を証明する。
• $HF^+$へのコムルティプリケーションの拡張を行い、自然な写像$\widehat{HF} \to HF^+$を用いて$c^+$を定義し、$U^d \cdot HF^+$における像を分析する。
• $HF^+$上のコムルティプリケーションを用いて障害を導出する：すべての$d$に対して$c^+(S\#_b S, g\#h) \notin U^d \cdot HF^+(-(Y_g \# Y_h))$ならば、すべての$d$に対して$c^+(S, hg) \notin U^d \cdot HF^+(-Y_{hg})$が成り立ち、$Y_{hg}$が$L$-空間でないことが示される。
• オルツヴァース＝ツァボおよびスティプシツの$c_1$-非ねじれ性とスティーン可埋漬性に関する結果を活用し、$Y_{hg}$が$L$-空間でない、または平面的開図式を支持しない条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オルツヴァース＝ツァボ接触不変量は、モノドロミーの合成において消えるか？ そして、ヘーガードフローホモロジーにおけるコムルティプリケーションで捉えられるか？
• RQ2 $\widehat{HF}$上のコムルティプリケーション構造は$HF^+$に拡張可能か？ そして、これによりどのような新たな障害が得られるか？
• RQ3 $c^+$および$c_1$に関するどのような条件下で、合成$hg$が$Y_{hg}$が$L$-空間でない、または平面的開図式を支持しないことを防ぐか？
• RQ4 $c(S, g)$と$c(S, h)$が非ゼロであれば、$c(S, hg)$も非ゼロであると保証できるか？ また、$c^+$へは拡張可能か？
• RQ5 コムルティプリケーションを用いて、接触構造の非可埋漬性または非平面的適合性を検出する方法はあるか？

主な発見

• 接触不変量$c(S, hg)$は、$c(S, g)$と$c(S, h)$がともに非ゼロであれば非ゼロである。これは、タイト性または可埋漬性がモノドロミーの合成のもとで保存されることを示している。
• コムルティプリケーション写像$\tilde{\mu}: \widehat{HF}(-Y_{hg}) \to \widehat{HF}(-Y_g) \otimes \widehat{HF}(-Y_h)$は、$\tilde{\mu}(c(S, hg)) = c(S, g) \otimes c(S, h)$を満たし、自然性およびコムルティプリケーション性が確立される。
• $HF^+$へのコムルティプリケーションの拡張が可能であり、すべての$d$に対して$c^+(S\#_b S, g\#h) \notin U^d \cdot HF^+(-(Y_g \# Y_h))$ならば、すべての$d$に対して$c^+(S, hg) \notin U^d \cdot HF^+(-Y_{hg})$が成り立ち、$Y_{hg}$が$L$-空間でないことが示される。
• $c_1(\mathfrak{s}(S,g))$が非ねじれであり、かつ$c^+(S\#_b S, g\#h) \neq 0$ならば、$Y_{hg}$は$L$-空間ではなく、$Y_{hg}$上の接触構造は平面的開図式によって支持されない。
• $(S,g)$と$(S,h)$がスティーン可埋漬可能であり、$c_1(\mathfrak{s}(S,g)) = c_1(\mathfrak{s}(S,h)) = 0$ならば、$Y_{hg}$は$L$-空間ではなく、接触構造は平面的開図式によって支持されない。
• もし$c^+(S,g) \neq 0$であり、$(S,h)$がスティーン可埋漬可能接触構造を支持するならば、$c^+(S\#_b S, g\#h) \neq 0$が成り立つ。これにより、$c^+$に基づく障害の使用が可能になる。