[論文レビュー] Categorical Saito theory, II: Landau-Ginzburg orbifolds

Junwu Tu|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$G$-equivariantな行列式因子とVariation of Semi-infinite Hodge Structures (VSHS)を用いて、Saitoの原始形式理論の$G$-equivariant版を構築し、有限な対角的特殊線形対称性を持つ可逆多項式に対して、カテゴリカルな原始形式の存在を証明する。五次族におけるLG/LG鏡対称性を検証するため、$B$-モデルのオルビーフォールド$(W, (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4)$の生成関数ゼロ次項が、その鏡$A$-モデル$(W, \mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$のFJRW生成関数と、平坦な断面とべき級数展開の比較により一致することを示す。

ABSTRACT

Let $W\in \mathbb{C}[x_1,\cdots,x_N]$ be an invertible polynomial with an isolated singularity at origin, and let $G\subset {\sf SL}_N\cap (\mathbb{C}^*)^N$ be a finite diagonal and special linear symmetry group of $W$. In this paper, we use the category ${\sf MF}_G(W)$ of $G$-equivariant matrix factorizations and its associated VSHS to construct a $G$-equivariant version of Saito's theory of primitive forms. We prove there exists a canonical categorical primitive form of ${\sf MF}_G(W)$ characterized by $G_W^{\sf max}$-equivariance. Conjecturally, this $G$-equivariant Saito theory is equivalent to the genus zero part of the FJRW theory under LG/LG mirror symmetry. In the marginal deformation direction, we verify this for the FJRW theory of $\big(\frac{1}{5}(x_1^5+\cdots+x_5^5),\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\big)$ with its mirror dual B-model Landau-Ginzburg orbifold $\big(\frac{1}{5}(x_1^5+\cdots+x_5^5), (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4\big)$. In the case of the Quintic family $\mathcal{W}=\frac{1}{5}(x_1^5+\cdots+x_5^5)-ψx_1x_2x_3x_4x_5$, we also prove a comparison result of B-model VSHS's conjectured by Ganatra-Perutz-Sheridan.

研究の動機と目的

• 可逆特異点をもつLandau-Ginzburgオルビーフォールドに対して、Saitoの原始形式理論の$G$-equivariant拡張を構築すること。
• $G$-equivariant行列式因子とそれらに付随するVSHSを用いたカテゴリカルな枠組みを確立すること。
• 非可換Hodgeフィルトレーションの$G_{W}^{{\rm max}}$-equivariantなスプリッティングの存在を証明すること。
• 五次族における$B$-モデル$G$-equivariantなSaito理論と生成関数ゼロ次FJRW理論との間の鏡対称性を検証すること。
• $B$-モデルのカテゴリカルVSHSをGriffithsの幾何的VSHSと比較し、Ganatra-Perutz-Sheridanの予想を支持すること。

提案手法

• Hodge-to-de-Rham退化を用いて、カテゴリ ${\sf MF}_{G}(W)$ の$G$-equivariant行列式因子から極化されたVSHSを構成する。
• 文献[1]の結果を用いて、非可換Hodgeフィルトレーションのスプリッティングとカテゴリカルな原始形式との間の双対写像を適用する。
• 非可換Hochschildおよび巡回ホモロジーの計算を用いて、$G_{W}^{{\rm max}}$-equivariantなスプリッティングの存在を証明する。
• 比較同型 $HC^{-}_{\rm odd}({\sf MF}_{G}(W)) \cong H^{*}(\Omega_{\mathbb{C}^5}^{*}[[u]], dW + u d_{DR})^{G}$ を用いて、de RhamホモロジーにおけるVSHSのモデル化を行う。
• 同型 $e^{(x_1\cdots x_5)\psi / u}$ を用いて、マージナル変形方向$\psi$に沿った基底形式の平坦拡張を計算し、Gauss-Manin接続と自明接続との関係を特定する。
• 平坦拡張の正の部分として原始形式$\zeta$を導出し、$\zeta = \frac{1}{\omega_0} dx_1\cdots dx_5$ となることを得る。ここで$\omega_0$は$\psi$に関するべき級数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆多項式$W$の$G$-equivariant行列式因子のカテゴリ${\sf MF}_{G}(W)$に対して、カテゴリカルな$G$-equivariant原始形式が一意に存在するか？
• RQ2 本稿で構築した$G$-equivariant Saito理論は、LG/LG双対性のもとで、生成関数ゼロ次FJRW理論と鏡対称的か？
• RQ3 $B$-モデル$({\sf MF}_{G}(W))$のカテゴリカルVSHSは、鏡の五次族のGriffithsの幾何的VSHSと比較可能か？
• RQ4 $B$-モデル$G$-equivariant Saito理論の生成関数は、マージナル変形方向でFJRW生成関数と一致するか？
• RQ5 $G = (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4$ かつ $W = \frac{1}{5}(x_1^5 + \cdots + x_5^5)$ の場合、非可換Hodgeフィルトレーションの正規化スプリッティングは$\psi$に関するべき級数で計算可能か？

主な発見

• ${\sf MF}_{G}(W)$に対して、$G_{W}^{{\rm max}}$-equivariantな非可換Hodgeフィルトレーションのスプリッティングが存在し、これにより一意なカテゴリカルな原始形式が得られる。
• 原始形式$\zeta$は明示的に $\zeta = \frac{1}{\omega_0} dx_1 dx_2 dx_3 dx_4 dx_5$ と計算され、ここで $\omega_0 = \sum_{k \geq 0} \frac{[(5k-4)(5k-9)\cdots(1)]^5}{(5k)!} \psi^{5k}$ である。
• 基底形式$s_0$の平坦拡張は $s_0^{\sf flat} = \frac{1}{\omega_0} dx_1\cdots dx_5 + u^{-1} \frac{\omega_1}{\omega_0} s_1^{\sf flat} - u^{-2} \frac{\omega_2}{\omega_0} s_2^{\sf flat} + u^{-3} \frac{\omega_3}{\omega_0} s_3^{\sf flat}$ を満たす。ここで$\omega_i$は$\psi$に関するべき級数として定義される。
• $({\sf MF}_{(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4}(W))$の$B$-モデルVSHSは、鏡の五次族の幾何的VSHSと同型であり、Ganatra-Perutz-Sheridanの予想がこの場合に正当化される。
• $({\sf MF}_{(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^4}(W))$の$B$-モデルの生成関数ゼロ次項が、マージナル方向$\tau = \frac{\omega_1}{\omega_0}$に制限されたとき、鏡$A$-モデル$(W, \mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$のFJRW生成関数と一致し、LG/LG鏡対称性が検証される。