[論文レビュー] Period mappings for noncommutative algebras

Isamu Iwanari|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、導来変形理論と巡回ホモロジーを用いて、微分形式的代数の変形に対してグリフィスの周期写像の非可換類似を構成する。Hochschildコチェイン複体から周期的巡回ホモロジーの自己準同型への $L_\infty$-準同型を介して単射周期写像を確立し、Calabi-Yau dg代数に対して無限小Torelli定理を証明する。

ABSTRACT

We construct a period mapping for deformations of a differential graded algebra, that generalizes Griffiths' period mapping. It is constructed as a morphism between differential graded Lie algebras which has a moduli-theoretic interpretation, where the domain of the morphism is the shifted Hochschild cocohain complex. We then use this period mapping to give some applications such as unobstructedness of deformations.

研究の動機と目的

• dg代数を用いて代数幾何学におけるグリフィスの周期写像を非可換設定に一般化すること。
• 負の巡回ホモロジーおよび周期的巡回ホモロジーを用いてホッジフィルトレーションの概念を拡張することで、dg代数の変形に対する周期写像を定義すること。
• 導来変形理論を用いてCalabi-Yau dg代数に対して無限小Torelli定理を確立すること。
• $L_\infty$-準同型と形式的モジュライ空間を用いて周期写像のホモトピー的枠組みを提供すること。

提案手法

• 曲がった $A_\infty$-変形を制御するdgリー代数として、シフトされたHochschildコチェイン複体 $C^\bullet(A)[1]$ を用いる。
• 負の巡回複体 $CC^{-}_\bullet(A)$ と周期的巡回複体 $CC^{per}_\bullet(A)$ にそれぞれ $k[t]$ および $k[t,t^{-1}]$ の作用を導入し、非可換ホッジ構造をモデル化する。
• $C^\bullet(A)[1]$ から商複体 $\operatorname{End}_{k[t^\pm]}(HH_*(A)((t)))/\operatorname{End}_{k[t]}(HH_*(A)[[t]])[-1]$ の自己準同型複体への $L_\infty$-準同型 $\mathcal{P}$ を構成する。
• dgリー代数 $L$ に対して関手 $\mathsf{Spf}_{L}$ を用いて導来変形理論を適用し、変形関手を $L \otimes m_R$ 内のモーラー＝カルタン要素と同一視する。
• Artin局所 $k$-代数の極大イデアルの長さに関する帰納法とシュレッセルリング条件 $(H_1)$ を用いて、周期写像の単射性を証明する。
• Calabi-Yau条件に依存して、写像 $\mathsf{Spf}_{\mathcal{P}}$ が接空間上で単射であることが保証され、これにより無限小Torelli結果が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的多様体におけるグリフィスの周期写像を、dg代数を用いて非可換空間へどのように一般化できるか？
• RQ2 巡回ホモロジー理論の観点から、非可換ホッジフィルトレーションの非可換類似は何か？
• RQ3 $L_\infty$-準同型と形式的モジュライ空間を用いて、dg代数の変形関手をどのように制御できるか？
• RQ4 周期写像が単射である条件は何か？ これは非可換幾何におけるTorelli問題に何を意味するか？
• RQ5 負の巡回ホモロジー上の $k[t]$-加群構造は、周期写像の定義において果たす役割は何か？

主な発見

• 周期写像 $\mathsf{P}: \mathsf{Spf}_{C^\bullet(A)[1]}(R) \to \mathsf{Spf}_{\mathbb{F}}(R)$ は、Hochschildコチェイン複体から周期的巡回ホモロジーの自己準同型への $L_\infty$-準同型として構成される。
• 写像 $\mathsf{Spf}_{\mathcal{P}}$ は、変形類 $P \in HH^2(A)$ を $\frac{1}{t}I_P((t))$ として、自己準同型複体の商に送る。
• $R = k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ のとき、$\mathsf{Spf}_{\mathcal{P}}(k[\epsilon]/(\epsilon^2))$ の単射性により、周期写像が単射であることが示される。
• 極大イデアルの長さに関する帰納法により、$\mathsf{Spf}_{\mathcal{P}}$ の単射性がすべてのArtin局所 $k$-代数へ拡張される。
• Calabi-Yau条件により、$\mathsf{Spf}_{\mathcal{P}}$ の像が次数ゼロの自己準同型に含まれることが保証され、単射性の証明が可能になる。
• 無限小Torelli定理が成り立つ：周期写像は接空間上で単射であり、これは変形が巡回ホモロジーのデータによって検出可能であることを意味する。