[論文レビュー] Categorification via blocks of modular representations for sl(n)

Vinoth Nandakumar, Gufang Zhao|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特性 $ p > n $ かつゼロのフロベニウス特性をもつ体上の $σ\mathfrak{l}_n$ のモジュラー表現のブロックを用いて、Bernstein, Frenkel, および Khovanov の $σ\mathfrak{l}_n$ テンソル積のカテゴリフィケーションの正標数版を構成する。このカテゴリフィケーションが、グラスマンニアンの余接 bundle 上の連続層を用いた幾何的カテゴリフィケーションと同値である Koszul 重み付き上げを備えていることを示し、また補完的グラスマンニアンのための分岐 Mukai フロップが導来カテゴリに perverse 同値を誘導することを示す。

ABSTRACT

Bernstein, Frenkel, and Khovanov have constructed a categorification of tensor products of the standard representation of $\mathfrak{sl}_2$, where they use singular blocks of category $\mathcal{O}$ for $\mathfrak{sl}_n$ and translation functors. Here we construct a positive characteristic analogue using blocks of representations of $\mathfrak{sl}_n$ over a field $ extbf{k}$ of characteristic $p$ with zero Frobenius character, and singular Harish-Chandra character. We show that the aforementioned categorification admits a Koszul graded lift, which is equivalent to a geometric categorification constructed by Cautis, Kamnitzer, and Licata using coherent sheaves on cotangent bundles to Grassmanians. In particular, the latter admits an abelian refinement. With respect to this abelian refinement, the stratified Mukai flop induces a perverse equivalence on the derived categories for complementary Grassmanians. This is part of a larger project to give a combinatorial approach to Lusztig's conjectures for representations of Lie algebras in positive characteristic.

研究の動機と目的

• 正標数における $σ\mathfrak{l}_2$ テンソル積の Bernstein, Frenkel, および Khovanov のカテゴリフィケーションを、モジュラー表現を用いて拡張すること。
• 幾何的カテゴリカル作用と局在化理論を用いて、カテゴリフィケーションの Koszul 重み付き上げを構成すること。
• モジュラーカテゴリフィケーションと、グラスマンニアンの余接 bundle 上の連続層を用いた幾何的カテゴリフィケーションとの同値性を確立すること。
• 幾何的構成のアーベル的精錬が施された状況下で、分岐 Mukai フロップが補完的グラスマンニアンの導来カテゴリに perverse 同値を誘導することを示すこと。
• 特異ブロックとトーラス重み付きカテゴリに基づく組み合わせ的枠組みを通じて、正標数におけるリー代数の Lusztig の予想を支持すること。

提案手法

• 特性 $ p > n $ でゼロのフロベニウス特性をもつ代数的に閉じた体 $k$ 上の $σ\mathfrak{l}_n$ のモジュラー表現の特異ブロックと、特異ハリシュ・チャンドラ特性を用いる。
• これらのブロック間の移動ファンクターを適用し、標準的表現のテンソル積を上げる $σ\mathfrak{l}_2$-作用のカテゴリフィケーションを定義する。
• Cautis, Kamnitzer, および Licata の幾何的カテゴリカル作用の理論を用いて、カテゴリフィケーションの重み付き上げを構成する。
• Bezrukavnikov, Mirković, および Rumynin の幾何的局在化理論を用いて、モジュラー表現のカテゴリとグラスマンニアンの余接 bundle 上の連続層との関係を確立する。
• 関手とその自然変換を実現するため、$χ\widetilde{\mathfrak{g}}_{\mathcal{P}_r} \times_{\mathfrak{g}} \widetilde{\mathfrak{g}}_{\mathcal{P}_{r+1}} \times_{\mathfrak{g}} \{0\}$ 上のフーリエ＝ムカイカーネルを構成する。
• 関手と自然変換の間の nil-アフィンヘッケ関係が重み付き設定で成り立つことを検証し、したがって未重み付きの場合にも成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー表現の $σ\mathfrak{l}_n$ を用いて、Bernstein-Frenkel-Khovanov のカテゴリフィケーションの正標数版を構成できるか？
• RQ2 このモジュラーカテゴリフィケーションは、既知の幾何的カテゴリフィケーションと一致する Koszul 重み付き上げを備えているか？
• RQ3 幾何的構成のアーベル的精錬が施された状況下で、補完的グラスマンニアンの間の分岐 Mukai フロップが誘導する導来同値は perverse 同値か？
• RQ4 表現におけるトーラス重みは、正標数における Lusztig の予想の定式化とどのように関係しているか？
• RQ5 カテゴリカル対称ホーウィー双対性の幾何的構成を用いて、非ゼロのフロベニウス中心特性をもつ表現のカテゴリフィケーションを上げることができるか？

主な発見

• 特性 $ p > n $ でゼロのフロベニウス特性をもつ $σ\mathfrak{l}_n$-表現のブロックによるモジュラーカテゴリフィケーションは、Koszul 重み付き上げを備える。
• この重み付き上げは、Cautis, Kamnitzer, および Licata がグラスマンニアンの余接 bundle 上の連続層を用いて構成した幾何的カテゴリフィケーションと同値である。
• 幾何的構成がアーベル的精錬を備えた状況下で、補完的グラスマンニアンのための連続層の導来カテゴリに、分岐 Mukai フロップが perverse 同値を誘導する。
• Theorem B と Corollary 2.13 を組み合わせることで、分岐 Mukai フロップによる導来同値が perverse であることが示された。
• 関手と自然変換の間の nil-アフィンヘッケ関係は重み付き設定で成り立ち、したがって未重み付き設定でも成り立つ。
• カテゴリカル対称ホーウィー双対性の幾何的構成を用いることで、非ゼロのフロベニウス中心特性をもつ表現のカテゴリフィケーションの重み付き上げを得ることができる。