[論文レビュー] Characters of representations of affine Kac-Moody Lie algebras at the critical level

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、可積分な有限次元単純リー代数上での臨界レベルにおけるアフィンKac-Moody代数の非可約最高ウェイト表現の文字公式を確立する。量子Drinfeld-Sokolov還元および幾何学的Langlands双対性の結果を用いて、ウェイル群作用と正ルートに関する積を含むウェイル-カスタイプの公式が得られ、非可約表現における臨界レベル文字理論における長年の欠落が解消される。

ABSTRACT

We present an explicit character formula for the irreducible highest weight representations of the non-twisted affine Kac-Moody Lie algebra at the critical level which are integrable over the corresponding finite-dimensional simple Lie algebra.

研究の動機と目的

• アフィンKac-Moody代数の臨界レベルにおける非可約最高ウェイト表現の形式的文字を特定すること。
• 特に可積分な表現に対して、臨界レベルにおける文字公式の欠落を解消すること。
• 表現論的および幾何学的手段を用いて、臨界レベルの場合のウェイル-カスタイプの文字公式を確立すること。
• 量子Drinfeld-Sokolov還元を用いて、FrenkelとGaitsgoryによるこれらの表現の構造に関する予想を確認すること。

提案手法

• 著者は、ベルマ加群の文字とバニシング加群の自己準同型環との関係を量子Drinfeld-Sokolov還元によって確立する。
• 文字公式は、特定の中心的文字によって消える加群の圏とZhu代数上の順次加群の圏の同値性によって導出される。
• この手法は、臨界レベルの頂点代数の中心とバニシング加群の自己準同型環との同型に依存している。
• ウェイル群作用およびシフトされた作用 $ w \bullet \lambda = w(\lambda + \rho) - \rho $ が、文字公式の分子を表現するために用いられる。
• 分母には正実ルートに関する積と正整数に関する積が含まれており、重複度空間分解の構造を反映している。
• 証明は、ベルマ加群の文字が自己準同型環の文字と非可約加群の文字の積に等しいことの検証によって完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元成分上で可積分であるとき、アフィンKac-Moody代数の臨界レベルにおける非可約最高ウェイト表現 $ L(\lambda) $ の文字は何か？
• RQ2 標準的なウェイル-カスの公式が機能しない臨界レベルの場合に、文字公式をどのように一般化できるか？
• RQ3 量子Drinfeld-Sokolov還元法を用いて、臨界レベルにおける文字公式を導出できるか？
• RQ4 臨界レベルにおける表現の構造をZhu代数上の順次加群の観点から説明する圏の同値性が存在するか？
• RQ5 最高ウェイトが整数的特異点を避けるとき、文字公式は既知の一般ケースに還元されるか？

主な発見

• 臨界レベルにおける $ \lambda \in P^{+}_{\text{crit}} $ の $ L(\lambda) $ の文字は、$ \operatorname{ch}L(\lambda) = \frac{\sum_{w \in \bar{W}} (-1)^{\ell(w)} e^{w \bullet \lambda}}{\prod_{\alpha \in \bar{\Delta}_+} (1 - q^{-\langle \lambda + \rho, \alpha^\vee \rangle}) \prod_{\alpha \in \Delta^{\text{re}}_+} (1 - e^{-\alpha})} $ で与えられ、ここで $ q = e^{\delta} $ である。
• バニシング加群の自己準同型環 $ R_{{\mathcal{Z}}}^{\bar{\lambda}} $ はZhu代数に同型であり、その順次文字は $ \operatorname{ch}R_{{\mathcal{Z}}}^{\bar{\lambda}} = \frac{\prod_{\alpha \in \bar{\Delta}_+} (1 - q^{-\langle \lambda + \rho, \alpha^\vee \rangle})}{\prod_{j \geq 1} (1 - q^{-j})^{\ell}} $ である。
• ベルマ加群 $ V(\lambda) $ は $ R_{{\mathcal{Z}}}^{\bar{\lambda}} $ 上の自由加群であり、その文字は $ \operatorname{ch}V(\lambda) = \operatorname{ch}R_{{\mathcal{Z}}}^{\bar{\lambda}} \cdot \operatorname{ch}L(\lambda) $ を満たす。
• 圏の同値性 $ \mathcal{M}^{\bar{\lambda}} \sim R_{{\mathcal{Z}}}^{\bar{\lambda}}\text{-grmod} $ が確立され、逆関手は $ F(M) = \operatorname{Hom}_{U({\mathfrak{g}}')} (V(\lambda), M) $ および $ G(X) = V(\lambda) \otimes_{R_{{\mathcal{Z}}}^{\bar{\lambda}}} X $ である。
• この公式はFrenkelとGaitsgoryの予想5 [Fre06] を順次の場合に確認しており、すべての $ \chi \in \operatorname{Op}_{{}^L G}^{\bar{\lambda}} $ に対して $ V(\lambda)/\ker \chi \cdot V(\lambda) $ の非可約性が確立される。
• 環 $ R_{{\mathcal{Z}}}^{\bar{\lambda}} $ のスペクトルは、オペルの多様体 $ \operatorname{Op}_{{}^L G}^{\bar{\lambda}} $ に同型であり、表現論と幾何学的Langlandsを結びつける。