[論文レビュー] Cherednik algebras and Hilbert schemes in characteristic p

Roman Bezrukavnikov, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異性 p の有限体上での A_{n-1} 型の有理 Cherednik 代数について、局所化定理を確立する。平面上の n 点の Hilbert 標本に於いて、Azumaya 代数 H_c を構成する。H_c-加群の有界導来カテゴリと、Hilbert 標本上の連接 H_c-加群の有界導来カテゴリとの間の同値性を証明し、Hilbert-Chow 溶接写像の各ファイバーの形式的近傍上で代数が分解することを示し、Bridgeland-King-Reid および Haiman の結果と関連付ける。

ABSTRACT

To David Kazhdan with admiration We prove a localization theorem for the type An−1 rational Cherednik algebra Hc = H1,c(An−1) over Fp, an algebraic closure of the finite field. In the most interesting special case where c∈Fp, we construct an Azumaya algebra Hc on Hilb n A 2, the Hilbert scheme of n points in the plane, such that Γ(Hilb n A 2, Hc) = Hc. Our localization theorem provides an equivalence between the bounded derived categories of Hc-modules and sheaves of coherent Hc-modules on Hilb n A 2, respectively. Furthermore, we show that the Azumaya algebra splits on the formal neighborhood of each fiber of the Hilbert-Chow morphism. This provides a link between our results and those of Bridgeland-King-Reid and Haiman.

研究の動機と目的

• 有理 Cherednik 代数の局所化定理を、F_p 上に拡張すること。
• c ∈ F_p のとき、Hilb^n A^2 上に Azumaya 代数 H_c を構成すること。
• H_c-加群の有界導来カテゴリと、Hilbert 標本上の連接 H_c-加群の有界導来カテゴリとの間の同値性を確立すること。
• Hilbert-Chow 溶接写像のファイバーの形式的近傍上での Azumaya 代数の分解行動を分析すること。
• Bridgeland-King-Reid および Haiman の既存の結果と、Hilbert 標本および導来同値性の文脈で関連付けること。

提案手法

• F_p の代数的閉包上の H_c = H_{1,c}(A_{n-1}) としての有理 Cherednik 代数の使用。
• 特異性 p における局所化を用いて、Hilb^n A^2 上に Azumaya 代数 H_c を構成すること。
• 幾何的表現論的手法を用いて、H_c-加群と Hilb^n A^2 上の連接層との関係を関係づけること。
• 形式的近傍解析を用いて、Hilbert-Chow 溶接写像のファイバーに沿う Azumaya 代数の分解を研究すること。
• 既知の Hilbert 標本および導来カテゴリに関する結果を活用して、カテゴリカル同値性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cherednik 代数の局所化定理を正の特異性にどのように拡張できるか？
• RQ2 c が F_p に属するとき、Hilbert 標本 Hilb^n A^2 上での有理 Cherednik 代数 H_c の構造は何か？
• RQ3 Hilb^n A^2 上の Azumaya 代数 H_c は、Hilbert-Chow 溶接写像の各ファイバーの形式的近傍で分解可能か？
• RQ4 H_c-加群の導来カテゴリと、Hilb^n A^2 上の連接 H_c-加群の導来カテゴリとの関係は何か？
• RQ5 これらの結果は、Hilbert 標本における導来同値性に関して、Bridgeland-King-Reid および Haiman の定理とどのように関連するか？

主な発見

• c ∈ F_p のとき、Hilbert 標本 Hilb^n A^2 上に Azumaya 代数 H_c を構成し、その全体切断が H_c に同型である。
• H_c-加群の有界導来カテゴリと、Hilb^n A^2 上の連接 H_c-加群の有界導来カテゴリとの間で導来同値性を確立した。
• Azumaya 代数 H_c は、Hilbert-Chow 溶接写像の各ファイバーの形式的近傍上で分解する。
• 局所化定理は、正の特異性における古典的 Beilinson-Bernstein 局所化の特異性 p における類似物を提供する。
• 本結果は、Cherednik 代数、Hilbert 標本、および正の特異性における導来カテゴリの間の新たな関係を確立し、Bridgeland-King-Reid および Haiman の枠組みを拡張する。