[論文レビュー] Cohomological Hall algebras for Higgs torsion sheaves, moduli of triples and Hilbert schemes on surfaces

Aliaksandr Minets|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、射影曲線上のヒッグスねつれい層のスタックのボレル＝モアレ・ホモロジーに、結合的積を構成し、シャッフル表示を備え、通常のホモロジー設定において忠実であることを証明する。さらに、その代数の作用を持つ安定三重のモジュライ空間を導入し、これにより曲線の余接 bundle 上のヒルベルトスキームのコホモロジーへの自然な作用が得られる。

ABSTRACT

For any free oriented Borel-Moore homology theory $A$, we construct an associative product on the $A$-theory of the stack of Higgs torsion sheaves over a projective curve $C$. We show that the resulting algebra $A\mathbf{Ha}_C^0$ admits a natural shuffle presentation, and prove it is faithful when $A$ is replaced with the usual Borel-Moore homology groups. We also introduce moduli spaces of stable triples, heavily inspired by Nakajima quiver varieties, whose $A$-theory admits an $A\mathbf{Ha}_C^0$-action. In particular, we obtain an action of $A\mathbf{Ha}_C^0$ on the cohomology of Hilbert schemes of points on $T^*C$.

研究の動機と目的

• 射影曲線上のヒッグスねつれい層のスタックのボレル＝モアレ・ホモロジーに、新たな結合的積を定義すること。
• この代数がシャッフル表示を備え、表現論における既知の構造を一般化すること。
• 中野山クーヴァー多様体にインspiredされた安定三重のモジュライ空間を導入し、代数の幾何的実現を与えること。
• コホモロジカル・ホール代数が曲線の余接 bundle 上のヒルベルトスキームのコホモロジーに作用することを確立すること。
• コホモロジカル・ホール代数の枠組みをヒッグス層および関連するモジュライ空間へと拡張し、幾何的表現論を豊かにすること。

提案手法

• 任意の自由な向き付けられたボレル＝モアレ・ホモロジー理論 $A$ に対して、ヒッグスねつれい層のスタックの $A$-理論に結合的積を構成する。
• 得られる代数 $A\mathbf{Ha}_C^0$ がシャッフル表示を備え、量子群で見られる組合せ的構造を一般化することを示す。
• 安定性条件を満たす層の三重をパラメトライズする幾何的対象として、安定三重のモジュライ空間を導入する。
• $A\mathbf{Ha}_C^0$ の $A$-理論への作用を定義する。
• $A$ が通常のボレル＝モアレ・ホモロジーのとき、代数 $A\mathbf{Ha}_C^0$ が忠実であることを証明し、表現の非退化性を保証する。
• $A\mathbf{Ha}_C^0$ が、$T^*C$ 上の点のヒルベルトスキームのコホモロジーに、安定三重のモジュライを介して自然に作用することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影曲線上のヒッグスねつれい層のスタックに対してコホモロジカル・ホール代数を構成できるか。その代数はどのような構造を持つのか。
• RQ2 この代数はシャッフル表示を備えるか。表現論における既知の代数的構造とどのように関係するか。
• RQ3 その代数の作用を持つ自然なコホモロジーを持つような安定三重のモジュライ空間を定義できるか。
• RQ4 ボレル＝モアレ・ホモロジーを用いて実現されたとき、コホモロジカル・ホール代数は忠実か。
• RQ5 この枠組みにより、曲線の余接 bundle 上のヒルベルトスキームのコホモロジーへの幾何的作用が得られるか。

主な発見

• ヒッグスねつれい層のスタックの $A$-理論に結合的積が構成され、代数 $A\mathbf{Ha}_C^0$ を形成する。
• $A\mathbf{Ha}_C^0$ は自然なシャッフル表示を備え、量子群からの組合せ的構造を一般化する。
• $A$ が通常のボレル＝モアレ・ホモロジーのとき、代数 $A\mathbf{Ha}_C^0$ は忠実であり、非退化表現を保証する。
• 安定三重のモジュライ空間が導入され、それらの $A$-理論は $A\mathbf{Ha}_C^0$ の自然な作用を持つ。
• この作用は、$T^*C$ 上の点のヒルベルトスキームのコホモロジーへの $A\mathbf{Ha}_C^0$ の幾何的作用を誘導する。
• この構成は、ヒッグス層および表面幾何の文脈におけるコホモロジカル・ホール代数の新しい幾何的実現を提供する。