[論文レビュー] Existence and applications of Ricci flows via pseudolocality

Fei He|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、曲率と等周条件の下で、完備非コンパクトなリーマン多様体上におけるリッチフローの短時間存在を確立する。具体的には、下からの有界スカラー曲率、負の2次関数で下から有界なリッチ曲率、および局所的ほぼユークリッド型等周不等式を仮定する。主な道具としてペレラマンの擬局所定理を用いる。主な貢献は、初期曲率が有界でない可能性がある場合のリッチフローの存在定理の新規確立であり、複素幾何および一様化予想への応用を含む。

ABSTRACT

We prove the short-time existence of Ricci flows on complete manifolds with scalar curvature bounded below uniformly, Ricci curvature bounded below by a negative quadratic function, and with almost Euclidean isoperimetric inequality holds locally. In particular, this result applies to manifolds with both Ricci curvature and injectivity radius bounded from below. We also study the short-time behaviour of these solutions which may have unbounded curvature at the initial time, and provide some applications. A key tool is Perelman's pseudolocality theorem.

研究の動機と目的

• 完備非コンパクトなリーマン多様体上で、弱い曲率および等周条件の下での短時間リッチフロー解の存在を確立すること。
• 一様有界曲率を超える非コンパクト多様体上でのリッチフロー存在問題を解決すること。
• ペレラマンの擬局所定理の適用範囲を、初期計量の曲率が有界でない場合にまで拡張すること。
• 最大体積成長および非負の全純バイセクショナル曲率が、このようなフローで保存されることを示すこと。
• カーラー多様体における楊の均一化予想に対する新たな証拠を提供すること。

提案手法

• 初期データの曲率が有界でない場合の曲率発展を制御するための中心的分析的道具として、ペレラマンの擬局所定理を用いる。
• コンパクト領域に共形変換を適用し、スカラー曲率の下界と等周制御を保った完備計量を構成する。
• 以下の条件を課す：liminf_{d(p,x)→∞} Ric(x)/d(p,x)^2 ≥ −L、スカラー曲率S ≥ −k、およびすべての測地球でδ1-ほぼユークリッド型等周不等式。
• すべてのx ∈ Mおよびt ∈ (0, (ε1 r̄)^2]に対して、|Rm|(x,t) ≤ A/t + 1/(ε1 r̄)^2 という曲率の上限を確立する。ここでr̄ = min{r, √(1/k), √(1/Lk)}である。
• スケール√tにおける非崩壊性を用いて、正の時間区間におけるフローのコンパクト性と正則性を保証する。
• グロモフ＝ハウスドルフ収束および測度比較技術を用いて、フロー下での体積成長の保存を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期曲率が有界でない完備非コンパクトリーマン多様体上でのリッチフローが、どのような幾何的条件下で存在するか？
• RQ2 ペレラマンの擬局所定理は、弱い曲率境界を持つ非完全または非コンパクトな初期データからリッチフローを構成するために適用可能か？
• RQ3 ほぼユークリッド型等周不等式に加え、スカラー曲率およびリッチ曲率の下界が、リッチフローの短時間存在を保証するのに十分か？
• RQ4 このような条件下で擬局所性を用いて構成されたリッチフローにおいて、最大体積成長は保存されるか？
• RQ5 これらのフロー存在結果は、カーラー多様体における楊の均一化予想を支持するために利用可能か？

主な発見

• 本稿は、次元n≥3の完備多様体上で、スカラー曲率が下から有界、リッチ曲率が負の2次関数で下から有界、および局所的δ1-ほぼユークリッド型等周不等式を満たす場合に、短時間リッチフローの存在を証明する。
• 解の曲率は、すべてのx ∈ Mおよびt ∈ (0, (ε1 r̄)^2]に対して、|Rm|(x,t) ≤ A/t + 1/(ε1 r̄)^2 を満たす。ここでr̄は初期曲率および幾何的構造に依存する。
• すべての十分小さいt > 0に対して、スケール√tにおけるκ(n)-非崩壊性が成り立ち、正の時間区間におけるコンパクト性と正則性が保証される。
• 初期計量がVol_{g(0)}B_{g(0)}(x,s) ≥ vs^m (s→∞のとき) を満たす場合、最大体積成長はリッチフロー下で保存される。
• 全純バイセクショナル曲率が非負で、δ(n)-ほぼユークリッド型等周不等式を満たすカーラー多様体では、フローが非負曲率および最大体積成長を保存し、結果としてC^nへのバイホロモーフィズムが得られる。
• この結果は、楊の均一化予想に対する新たな証拠を提供し、上記の条件下では、このような多様体がC^nにバイホロモーフィックであることを示している。