[論文レビュー] Circuit Treewidth, Sentential Decision, and Query Compilation

Simone Bova, Stefan Szeider|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ブール関数における有界な回路木幅が、有界なSDD（Sentential Decision Diagram）幅と同値であることを確立し、既知の有界な回路パス幅と有界なOBDD幅の間の同値性に類似したタイトな特徴付けを提供する。主な貢献は、木幅が有界なクエリに対して多項式サイズのSDDコンパイルを可能にし、トライビアルな知識コンパイルを介して効率的な確率的クエリ評価を実現することである。

ABSTRACT

The evaluation of a query over a probabilistic database boils down to computing the probability of a suitable Boolean function, the lineage of the query over the database. The method of query compilation approaches the task in two stages: first, the query lineage is implemented (compiled) in a circuit form where probability computation is tractable; and second, the desired probability is computed over the compiled circuit. A basic theoretical quest in query compilation is that of identifying pertinent classes of queries whose lineages admit compact representations over increasingly succinct, tractable circuit classes. Fostering previous work by Jha and Suciu (2012) and Petke and Razgon (2013), we focus on queries whose lineages admit circuit implementations with small treewidth, and investigate their compilability within tame classes of decision diagrams. In perfect analogy with the characterization of bounded circuit pathwidth by bounded OBDD width, we show that a class of Boolean functions has bounded circuit treewidth if and only if it has bounded SDD width. Sentential decision diagrams (SDDs) are central in knowledge compilation, being essentially as tractable as OBDDs but exponentially more succinct. By incorporating constant width SDDs and polynomial size SDDs, we refine the panorama of query compilation for unions of conjunctive queries with and without inequalities.

研究の動機と目的

• 不等式を含む結合的クエリの和（UCQ）に関して、有界な回路木幅が有界なOBDD幅を意味するかどうかという未解決の問題を解明すること。
• OBDDほどトライビアルであるが、指数的により短い表現が可能な知識コンパイルのターゲットクラスを特定すること。
• 既知のパス幅によるOBDD幅の特徴付けを、SDDを標準形として用いることで木幅に拡張すること。
• 定数幅および多項式サイズのSDDを、不等式を含む・含まないUCQの両方のクエリコンパイルフレームワークに統合し、クエリコンパイルの地図を洗練すること。
• 特に確率的データベースクエリ評価の文脈において、SDDと他の構造的決定的形式およびOBDDとの相対的な短縮性を調査すること。

提案手法

• ブール関数の構造的性質とその回路表現を用いて、回路木幅とSDD幅の間の新しい特徴付けを導入する。
• 定理1に基づく長方形被覆の議論を用い、構造的NNFから導かれるSDD部品のサイズを抑え、凸関数に対するジェンセンの不等式を活用する。
• 証明における2つの補完的ケースを分析する：変数の部分集合がSDD構造内で完全に被覆される場合、および部分的被覆が指数的下界を引き起こす場合。
• 変数ペアの分割技術を用いて、SDD部品が分割サイズに指数的に成長する領域 $ R_p $ を定義し、部品サイズの下界を導出する。
• 既知の決定的分解可能回路および構造的NNFに関する結果を応用し、SDDが元の回路に対してサイズが高々線形に増加する形でそれらをシミュレートできることを示す。
• SDDが決定的で、分解可能かつ構造的であるという事実を活用し、確率計算を効率的に行い、有界木幅のラインエージェンスに対して多項式サイズのコンパイルを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 JhaとSuciuが予想したように、不等式を含むUCQに関して、有界な回路木幅が有界なOBDD幅を意味するか？
• RQ2 SDDが、パス幅–OBDD幅の同値性に類似した形で、有界な回路木幅を持つブール関数に対して多項式サイズのコンパイルを達成できるか？
• RQ3 クエリラインエージェンスコンパイルの文脈において、SDDとOBDDおよび他の構造的決定的形式との相対的な短縮性はいかほどか？
• RQ4 最近の予想が示唆するように、有界ファンインORゲートを備えたSDDは、OBDDによって準多項式的シミュレーション可能か？
• RQ5 因子分解可能イニシャチブに基づく標準的構造的決定的形式は、SDDおよび因子分解データベースのデータ構造と意味的に比較可能か？

主な発見

• あるブール関数のクラスが有界な回路木幅を持つことと、有界なSDD幅を持つことは同値であり、パス幅–OBDD幅特徴付けに類似したタイトな同値性が確立された。
• 回路木幅が $ k $ である任意のブール関数に対して、サイズ $ O(f(k)n) $ のSDD表現が存在する。ここで $ f(k) $ は急速に増加する関数であり、パス幅に対するOBDDの効率性と一致する。
• 本論文は、有界木幅のラインエージェンスに対してSDDが多項式サイズのコンパイルを達成できることを証明し、OBDDが示す木幅に二重指数的依存性を回避する。
• $ k $-分割構造において、少なくとも1つのSDD部品のサイズに $ 2^{ heta(n/k)} $ の下界が確立され、被覆が不完全な場合に固有の指数的成長が生じることを示した。
• 従来、SDDとOBDDの間で指数的分離が予想された間隔を埋める可能性があったとされる間接的アクセスストレージ（ISA）関数は、実際には小さなSDDサイズを持つことが示され、短縮性比較における潜在的ギャップが閉じられた。
• 定数幅SDDおよび多項式サイズSDDが、不等式を含む・含まないUCQの両方のクエリコンパイルフレームワークに統合され、確率的クエリ評価の既知のトライビアルケースが洗練された。