[論文レビュー] Classical and quantum computation with small space bounds (PhD thesis)

Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 54被引用数 6

ひとこと要約

本博士論文は、プッシュダウン、カウンタ、有限オートマトンのバリエーションを含む一般の量子演算子をサポートする、新規の量子チューリングマシンモデルを導入し、小空間制約下における古典的および量子マシンの計算能力を厳密に分析する。主な結果として、特に無限大誤りおよび有界誤り設定において、サブログラリズム空間および定数空間で量子マシンが古典的マシンよりも厳密に多くの言語を認識できることを示しており、新規モデルは古典的対比物よりも優れた表現力と記述の簡潔さを示している。

ABSTRACT

In this thesis, we introduce a new quantum Turing machine (QTM) model that supports general quantum operators, together with its pushdown, counter, and finite automaton variants, and examine the computational power of classical and quantum machines using small space bounds in many different cases. The main contributions are summarized below. Firstly, we consider QTMs in the unbounded error setting: (i) in some cases of sublogarithmic space bounds, the class of languages recognized by QTMs is shown to be strictly larger than that of classical ones; (ii) in constant space bounds, the same result can still be obtained for restricted QTMs; (iii) the complete characterization of the class of languages recognized by realtime constant space nondeterministic QTMs is given. Secondly, we consider constant space-bounded QTMs in the bounded error setting: (i) we introduce a new type of quantum and probabilistic finite automata (QFAs and PFAs, respectively,) with a special two-way input head which is not allowed to be stationary or move to the left but has the capability to reset itself to its starting position; (ii) the computational power of this type of quantum machine is shown to be superior to that of the probabilistic machine; (iii) based on these models, two-way PFAs and two-way classical-head QFAs are shown to be more succinct than two-way nondeterministic finite automata and their one-way variants; (iv) we also introduce PFAs and QFAs with postselection with their bounded error language classes, and give many characterizations of them. Thirdly, the computational power of realtime QFAs augmented with a write-only memory is investigated by showing many simulation results for different kinds of counter automata. Finally, some lower bounds of realtime classical Turing machines in order to recognize a nonregular language are shown to be tight.

研究の動機と目的

• 小空間制約下における古典的および量子マシンの計算能力を調査すること、特にサブログラリズム空間および定数空間の境界において。
• 一般の量子演算子をサポートする新しい量子チューリングマシンモデルを開発し、制限された空間設定における量子計算の広範な分析を可能にすること。
• さまざまな量子および古典的オートマトンが認識する言語クラスを特定すること、特にリアルタイムおよび定数空間設定において。
• 空間効率および言語認識能力の観点から、量子モデルが古典的および確率的対比物を上回ることを示すこと。
• 後選択（postselection）および特別な入力ヘッドメカニズムが、量子有限オートマトンの計算能力をどのように強化するかを調査すること。

提案手法

• 一般の量子演算子を許容する新規の量子チューリングマシンモデルを導入し、空間制限付き計算に非ユニタリおよび非等長的操作を可能にする。
• 左に移動できないが開始位置にリセット可能な二方向入力ヘッドを持つ有限オートマトンのモデルを提案し、新たな計算能力を実現する。
• ユニタリ変化と部分トレースを用いたスーパーオペレータ形式を用いて一般の量子操作をモデル化し、受理可能（admissible）および選択的（selective）なオペレータの区別を行う。
• 密度行列と操作要素 {E_i} を用いて量子遷移を表現し、トレース保存性を保証するための正規化を実施する。
• 特に有界誤り設定において、有限オートマトンモデルに後選択を適用し、言語認識能力を強化する。
• 書き込み専用メモリを備えた量子有限オートマトンとさまざまなカウンタオートマトンとの間のシミュレーションおよび特徴付け結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブログラリズム空間境界において、量子チューリングマシンは古典的マシンよりも多くの言語を認識できるか？
• RQ2 リアルタイム定数空間非決定的量子チューリングマシンの計算能力は何か？
• RQ3 左に移動できないがリセット可能な二方向入力ヘッドが、量子および確率的有限オートマトンの計算能力にどのように影響するか？
• RQ4 後選択と書き込み専用メモリを備えた量子有限オートマトンは、古典的オートマトンよりも多くの言語をより簡潔に認識できるか？
• RQ5 非正則言語を認識する古典的リアルタイムチューリングマシンに対するタイトな下界は何か？

主な発見

• サブログラリズム空間境界において、量子チューリングマシンは古典的チューリングマシンよりも厳密に多くの言語を認識できる。
• 定数空間においても、制限付き量子チューリングマシンは言語認識能力の観点で古典的マシンを上回る。
• リアルタイム定数空間非決定的量子チューリングマシンが認識する言語クラスは完全に特徴付けられている。
• リセット可能な入力ヘッドを備えた二方向量子有限オートマトンは、その確率的対比物よりも厳密に強力である。
• 古典的ヘッドを備えた二方向量子有限オートマトンは、二方向非決定的有限オートマトンおよびその一方通行バージョンよりも記述が簡潔である。
• 後選択と有界誤りを備えた量子有限オートマトンは、同様の制約下の確率的オートマトンよりも厳密に大きな言語クラスを認識する。