[論文レビュー] Classifying Poincaré Inequalities and the local geometry of RNP-Differentiability Spaces

Sylvester Eriksson‐Bique|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、RNP-Lipschitz微分可能空間が、局所的(1,p)-Poincaré不等式を満たす空間の部分集合によって測度零を除いて被覆可能なPI-可縮性（PI-rectifiable）である、かつ正の測度の空洞集合を含まない、完全に特徴づけられることを確立する。主な革新は、完全に離散的集合をPoincaré不等式を満たす空間へと拡大する新しい「太らし」構成と、局所的Poincaré不等式と同値に特徴づける新しい定量的連結性条件の導入であり、微分可能空間の幾何的構造とPoincaré不等式との関係について長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We characterize complete RNP-differentiability spaces as those spaces which are rectifiable in terms of doubling metric measure spaces satisfying some local $(1, p)$-Poincaré inequalities. This gives a full characterization of spaces admitting a strong form of a differentiability structure in the sense of Cheeger, and provides a partial converse to his theorem. The proof is based on a new `thickening' construction, which can be used to enlarge subsets into spaces admitting Poincaré inequalities. We also introduce a new notion of quantitative connectivity which characterizes spaces satisfying local Poincaré inequalities. This characterization is of independent interest, and has several applications separate from differentiability spaces. We resolve a question of Tapio Rajala on the existence of Poincaré inequalities for the class of $MCP(K, n)$-spaces which satisfy a weak Ricci-bound. We show that deforming a geodesic metric measure space by Muckenhoupt weights preserves the property of possessing a Poincaré inequality. Finally, the new condition allows us to show that many classes of weak, Orlicz and non-homogeneous Poincaré inequalities `self-improve' to classical $(1, q)$-Poincaré inequalities for some $q \in [1,\infty)$, which is related to Keith's and Zhong's theorem on self-improvement of Poincaré inequalities.

研究の動機と目的

• RNP微分可能空間がPI-可縮性であるかどうか、すなわち局所的(1,p)-Poincaré不等式を満たす空間の部分集合によって測度零を除いて被覆可能であるかという未解決問題を解消すること。
• 強い形のCheegerの測度的微分可能構造を有する空間の幾何的特徴づけを確立すること。
• 連結性が限定された部分集合からPoincaré不等式を満たす空間を構成する新手法を開発し、非PI設定においてPoincaré不等式を回復可能にする。
• Cheegerの定理の部分的逆を提供することにより、測度論的条件下でRNP微分可能構造の存在がPI-可縮性を含意することを示すこと。

提案手法

• 完全に離散的集合を、連結性とPoincaré不等式の性質が向上したより大きな測度付き距離空間に埋め込む、新しい「太らし」構成を導入する。
• 局所的(1,p)-Poincaré不等式の存在と同値である新しい定量的連結性条件を定義し、測度のダブリングに依存しない幾何的特徴づけを提供する。
• Arzelà-Ascoliの定理とGromov-Hausdorff収束を用いて、ギャップサイズを制御した開集合を避ける1-Lipschitz曲線断片を構成する。
• 微分可能空間の吹き増しにおける曲線断片の極限を用いて、接空間が(1,p)-Poincaré不等式を満たすことを示す。
• BateとLiによるRNP微分可能空間における漸近的非同調Poincaré不等式の研究を活用し、一様な連結性を持つ部分集合を同定する。
• Muckenhoupt重みとOrlicz型Poincaré不等式の理論を適用し、弱いおよび非同調Poincaré不等式が、あるq ∈ [1,∞)に対して古典的(1,q)-Poincaré不等式に「自己強化」することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の完備なRNP-Lipschitz微分可能空間はPI-可縮性であるか、すなわち局所的(1,p)-Poincaré不等式を満たす空間の部分集合によって測度零を除いて被覆可能か？
• RQ2 測度のダブリングを前提としない完備測度付き距離空間において、局所的(1,p)-Poincaré不等式の存在と同値となる定量的連結性条件を定式化できるか？
• RQ3 測地的測度付き距離空間におけるMuckenhoupt重み変形によってPoincaré不等式の性質は保存されるか？
• RQ4 弱い、Orlicz型、または非同調Poincaré不等式は、あるq ∈ [1,∞)に対して古典的(1,q)-Poincaré不等式に「自己強化」するか？
• RQ5 曲線断片の幾何的構成を用いて、RNP微分可能空間の接空間が(1,p)-Poincaré不等式を満たすことを示せるか？

主な発見

• 完全な特徴づけが確立された：完備な測度付き距離空間がRNP-Lipschitz微分可能空間であるための必要十分条件は、PI-可縮であることかつ、すべての空洞集合が測度ゼロであることである。
• 「太らし」構成は、連結性が著しく低い部分集合を、局所的(1,p)-Poincaré不等式を満たす空間へと効果的に変換でき、非PI設定においてPoincaré不等式を回復可能にした。
• Poincaré不等式の存在と同値である新しい定量的連結性条件が導入され、測度に依存しない幾何的基準を提供した。
• Tapio Rajalaの問いに応えて、弱いリッチ曲率境界を有する$MCP(K,n)$-空間がPoincaré不等式を満たすことを示した。
• Muckenhoupt重み変形が測地的測度付き距離空間におけるPoincaré不等式の性質を保存することを示した。
• 弱い、Orlicz型、非同調Poincaré不等式は、あるq ∈ [1,∞)に対して古典的(1,q)-Poincaré不等式に「自己強化」する。これはKeithとZhongの結果を拡張する。