[論文レビュー] Clifford Algebras, Spinors and $Cl(8,8)$ Unification

Matej Pavšič|arXiv (Cornell University)|May 25, 2021

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、16次元のベクトル空間 V₈,₈ において、クライフォード代数 Cl(8,8) を用いた統一枠組みを提案する。スピン接続の内部幾何学が質量とゲージ対称性を生成するディラック方程式を満たすスピン接続が、SO(10)のグランドユニフィケーションとローレンツ不変性を実現するが、クライフォード空間における幾何的スピン接続のおかげでコールマン＝マンドゥラの定理を回避する。質量はヒッグス的結合に加え、追加次元における軌道的角運動量に起因する。

ABSTRACT

It is shown how the vector space $V_{8,8}$ arises from the Clifford algebra $Cl(1,3)$ of spacetime. The latter algebra describes fundamental objects such as strings and branes in terms of their $r$-volume degrees of freedom, $x^{μ_1 μ_2 ...μ_r}$ $\equiv x^M$, $r=0,1,2,3$, that generalizethe concept of center of mass. Taking into account that there are sixteen $x^M$, $M=1,2,3,...,16$, and in general $16 imes 15/2 = 120$ rotations of the form $x'^M = {R^M}_N x^N$, we can consider $x^M$ as components of a vector $X=x^M q_M$, where $q_M$ are generators of the Clifford algebra $Cl(8,8)$. The vector space $V_{8,8}$ has enough room for the unification of the fundamental particles and forces of the standard model. The rotations in $V_{8,8}\otimes \mathbb{C}$ contain the grand unification group $SO(10)$ as a subgroup, and also the Lorentz group $SO(1,3)$. It is shown how the Coleman-Mandula no go theorem can be avoided. Spinors in $V_{8,8}\otimes \mathbb{C}$ are constructed in terms of the wedge products of the basis vectors rewritten in the Witt basis. They satisfy the massless Dirac equation in $M_{8,8}$ with the internal part of the Dirac operator giving the non vanishing masses in four dimensions.

研究の動機と目的

• 時空の自由度をクライフォード代数 Cl(1,3) で拡張し、それを16次元のクライフォード空間に埋め込むことで、重力を含むすべての基本粒子と相互作用を統一すること。
• V₈,₈ ⊗ ℂ における回転の部分群として、グルーピングユニフィケーション群 SO(10) とローレンツ群 SO(1,3) がどのように生成されるかを示すこと。
• ゲージ対称性と時空対称性が非線形に統一される高次元幾何的枠組みにおいて、スピン接続を構築することで、コールマン＝マンドゥラのノーゲー定理を回避すること。
• ヒッグス場に依存するのではなく、内部次元における軌道的角運動量とスピン接続に埋め込まれたユカワ結合を通じて、粒子の質量を説明すること。
• ミラー粒子とダークマター候補が、クライフォード空間の幾何的構造から自然に生じることを提案すること。

提案手法

• ストリングやブレーンなどの拡張対象を、Cl(1,3) に属する r-体積自由度 x^{μ₁…μᵣ} で表現し、これらが Cl(8,8) の基底要素によって張られる16次元ベクトル空間を形成する。
• クライフォード空間 C の接空間として16次元ベクトル空間 V₈,₈ を構築し、Cl(8,8) の生成子 q_M がベクトル X = x^M q_M の成分を定義する。
• ウィット基底における基底ベクトルのウェッジ積を用いて、Cl(8,8) の最小左イデアルを形成することで、V₈,₈ ⊗ ℂ におけるスピン接続を定義する。
• M₈,₈ における質量ゼロのディラック方程式を課し、内部ディラック作用素の曲率およびスピン接続項が4次元で非ゼロの質量を生成することを示す。
• 共変微分 ∂_M Ψ = (∂_M ψ^Ã + Γ_M^Ã_Ã ψ^Ã) ξ_Ã を用い、ゲージ場、スピン接続、ヒッグス的多重スカラーをすべてスピン接続 Γ の中に統合する。
• 有効質量方程式 m²ψ^i = g^{MN} D_M D_N ψ^i + (σ_{MN})^i_j R^{j}_{MN} ψ^k を導出し、質量がヒッグス項と軌道的角運動量の両方の寄与によって生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空のクライフォード代数 Cl(1,3) をどのように用いて、すべての基本粒子と力を統一できる16次元幾何的枠組みを構築できるか？
• RQ2 V₈,₈ ⊗ ℂ における回転が、どのようにSO(10)のグランドユニフィケーションとローレンツ対称性 SO(1,3) を部分群として含むか？
• RQ3 このクライフォード空間の幾何的枠組みにおいて、コールマン＝マンドゥラのノーゲー定理はどのように回避されるか？
• RQ4 このモデルにおける粒子の質量の起源は何か？また、軌道的角運動量とスピン接続は、標準的ヒッグス機構を越えてどのように寄与するか？
• RQ5 ミラー粒子とダークマター候補は、クライフォード空間の幾何的構造からどのように自然に生じるか？

主な発見

• Cl(8,8) から構築された16次元ベクトル空間 V₈,₈ は、重力を含むすべての基本粒子と相互作用を統一するのに十分な幾何的自由度を有する。
• SO(10) は V₈,₈ ⊗ ℂ における回転の部分群として現れ、標準模型のゲージ群とフェルミオンの世代を統一するグルーピングユニフィケーションを実現する。
• ローレンツ群 SO(1,3) は SO(2,4) の部分群として埋め込まれており、SO(2,4) は SO(8,8) の部分群であるため、高次元枠組み内でも時空対称性が保たれる。
• 質量生成はヒッグス場によるものに限らない。内部空間における軌道的角運動量項 g^{MN} ∂_M ∂_N ψ^i が有効質量に顕著な寄与を示しており、導出された方程式 m²ψ^i = g^{MN} D_M D_N ψ^i + (σ_{MN})^i_j R^{j}_{MN} ψ^k によって明確に示されている。
• 共変微分 ∂_M Ψ には、すべてのゲージ場、スピン接続、ヒッグス多重スカラーがスピン接続 Γ_M^Ã_Ã の中に統合されており、クライフォード空間の枠組みにおいて幾何学的に統一されている。
• ミラー粒子とダークマター候補は、クライフォード空間の幾何的構造から自然に生じ、ミラーゲージ場に結合しており、標準模型の相互作用では観測不可能である。