[論文レビュー] Closed Model Categories for Presheaves of Simplicial Groupoids and Presheaves of 2-Groupoids

Zhiming Luo, Peter Bubenik+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、小さなサイト上の単体的グロイドの層および2-グロイドの層の圏にクイレン閉じたモデル構造を確立し、それぞれそのホモトピー圏が単体的層およびホモトピー2型のそれらと同値であることを示している。構成は単体的集合と高階グロイドの間の随伴関手に依拠し、弱同値およびファイブレーションは$\overline{W}$関手を介して持ち上げられ、2型のホモトピー理論を実現するクイレン同値が得られる。

ABSTRACT

It is shown that the category of presheaves of simplicial groupoids and the category of presheaves of 2-groupoids have Quillen closed model structures. Furthermore, their homotopy categories are equivalent to the homotopy categories of simplicial presheaves and homotopy 2-types, respectively.

研究の動機と目的

• 小さなサイト上の単体的グロイドおよび2-グロイドの層に、クイレンの閉じたモデル圏枠組みを拡張すること。
• これらの圏が単体的層の既存のモデルと整合する、うまく定義されたホモトピー理論を備えていることを示すこと。
• これらの層圏のホモトピー圏と単体的層およびホモトピー2型のホモトピー圏との間のクイレン同値を確立すること。
• 高階グロイド構造を用いた$G$- torsorsおよびgerbesの分類のためのホモトピー的基盤を提供すること。

提案手法

• 単体的集合から$s\mathbf{Gd}$への随伴$G: \Delta^{op} \to s\mathbf{Gd}$およびその右随伴$\overline{W}$を用い、単体的層から単体的グロイドの層へのモデル構造の移行を行う。
• $s\mathbf{Gd}Pre(\mathcal{C})$におけるファイブレーションおよび弱同値を、${\bf S}Pre(\mathcal{C})$からのグローバルファイブレーションおよび位相的弱同値を$\overline{W}$関手を介して持ち上げることで定義する。
• ジャーディンの技法を適用し、$s\mathbf{Gd}Pre(\mathcal{C})$および${\bf 2-Gpd}Pre(\mathcal{C})$におけるモデル構造のクイレン公理（持ち上げおよび分解の性質）を検証する。
• 小対象の技法を用いて関手的分解を構成し、コフェイブレーションおよび自明なコフェイブレーションがうまく定義されることを保証する。
• $\overline{W}$関手がファイブレーションおよび弱同値を保存することを示し、クイレン随伴の構成を可能にする。
• ホモトピー圏レベルでの誘導された随伴が同値を引き起こすことを証明し、2-グロイドに関して$G$と$\overline{W}$がクイレン同値をなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さなサイト上の単体的グロイドの層の圏はクイレン閉じたモデル構造を備えているか？
• RQ2 単体的グロイドの層のホモトピー圏は単体的層のホモトピー圏と同値であると示せるか？
• RQ3 2-グロイドの層の圏はホモトピー2型のホモトピー理論と整合する閉じたモデル構造を備えているか？
• RQ4 単体的層と2-グロイドの層の間の随伴がホモトピー圏に同値を誘導するクイレン同値であるか？
• RQ5 $\overline{W}$関手が層の文脈でファイブレーションおよび弱同値を保存するための条件は何か？

主な発見

• $s\mathbf{Gd}Pre(\mathcal{C})$における単体的グロイドの層の圏は、$\overline{W}$関手を介して定義されたファイブレーションおよび弱同値を備えたクイレン閉じたモデル構造を有する。
• $Ho(s\mathbf{Gd}Pre(\mathcal{C}))$は、単体的層のホモトピー圏$Ho({\bf S}Pre(\mathcal{C}))$と同値である。
• ${\bf 2-Gpd}Pre(\mathcal{C})$における2-グロイドの層の圏は、${\bf S}Pre(\mathcal{C})$からのファイブレーションおよび弱同値を$\overline{W}$を介して持ち上げることで定義されたクイレン閉じたモデル構造を有する。
• 随伴$G: {\bf S}Pre(\mathcal{C}) \rightleftarrows {\bf 2-Gpd}Pre(\mathcal{C}) : \overline{W}$はクイレン随伴であり、ホモトピー圏に同値を誘導する。
• $Ho({\bf 2-Gpd}Pre(\mathcal{C}))$は、$Ho({\bf S}Pre(\mathcal{C}))$の、2次元以上でホモトピー群が自明な、すなわちホモトピー2型と呼ばれる単体的層のフル部分圏と同値である。
• 任意の2-グロイドの層$K$に対して、自然な写像$\varphi: G\overline{W}(K) \to K$は弱同値であり、$\pi_i(\overline{W}K|_U, \ast) = 0$（$i > 2$）が成り立つ。これは2型の性質が確認されたことを示している。