[論文レビュー] Cocenter of $p$-adic groups, II: induction map

Xuhua He|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、p進群のヘッケ代数の余中心のニュートン成分間の誘導写像を構成し、それが全射であり、ヤコブティ関手と随伴することを証明する。特によく知られた特徴関数零の状況では、写像が同型であることが示され、Bernstein-Lusztig型の余中心の表示が得られ、ニュートン分解と整合性を持つことが示された。

ABSTRACT

In this paper, we study some relation between the cocenter $\bar H(G)$ of the Hecke algebra $H(G)$ of a connected reductive group $G$ over an nonarchimedean local field and the cocenter $\bar H(M)$ of its Levi subgroups $M$. Given any Newton component of $\bar H(G)$, we construct the induction map $\bar i$ from the corresponding Newton component of $\bar H(M)$ to it. We show that this map is surjective. This leads to the Bernstein-Lusztig type presentation of the cocenter $\bar H(G)$, which generalizes the work \cite{HN2} on the affine Hecke algebras. We also show that the map $\bar i$ we constructed is adjoint to the Jacquet functor and in characteristic $0$, the map $\bar i$ is an isomorphism.

研究の動機と目的

• リーマン部分群 $M$ の余中心から再帰的 $p$-進群 $G$ の余中心への誘導写像 $\bar{i}_{M,R}$ を定義し、ニュートン分解と整合性を持つこと。
• この写像が表現のレベルでヤコブティ関手と随伴することを確立し、特徴関数零での既知の結果を拡張すること。
• 写像が $\mathbb{Z}[1/p]$ 上の整数的構造を保つことにより、mod-$l$ 表現論への応用が可能になること。
• 特徴関数零において、写像が同型であることを証明し、アフィンヘッケ代数に対する Bernstein-Lusztig 表示を一般化すること。
• ニュートン分解と誘導写像の整合性を示し、リーマン部分群間で構造が保存されることを保証すること。

提案手法

• $v$ をドミナントな有理的コ重みとするニュートン分解 $\bar{H}(G) = \oplus \bar{H}(v)$ を用いて、ニュートン成分上の誘導写像 $\bar{i}_{v}: \bar{H}(M;v) \to \bar{H}(\bar{v})$ を構成する。
• Bushnell の $P_v$-正の元の構成と、代数的ホモモーフィズム $j_{v,\mathcal{K}}: H^v(M,\mathcal{K}_M) \to H(G,\mathcal{K})$ を用いて、ヘッケ代数のレベルでの写像を定義する。
• 商 $\bar{H}(G) = H(G)/[H(G), H(G)]$ を通じて写像を余中心へと持ち上げ、トレース写像およびヤコブティ関手と整合性を持つように保証する。
• Mackey の公式を適用し、$\Psi(M)_R$ 上の代数的関数の正の部分を分析することで、$G$ と $M$ のトレースを関連付ける。
• 複素数体上のスペクトル密度定理を用い、$\bar{i}_v(f)$ のすべての誘導表現におけるトレースが消えるならば、$f$ が $M$ 上のトレースの核に属することを示し、全射性を証明する。
• 特徴関数零において、スペクトル密度定理を複素数体上で用い、$\mathbb{Z}[1/p]$ 上の余中心の自由性を用いて、写像 $\bar{i}_\nu$ が単射であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン部分群 $M$ の余中心から再帰的 $p$-進群 $G$ の余中心へのwell-definedな誘導写像 $\bar{i}_{M,R}$ が、ニュートン分解と整合するか？
• RQ2 係数が $\mathbb{Z}[1/p]$ の整数的形 $\bar{H}(G)$ 上で、この誘導写像を構成でき、mod-$l$ 表現論の構造を保つことができるか？
• RQ3 誘導写像が余中心のレベルでヤコブティ関手と随伴するか？
• RQ4 特徴関数零において、写像 $\bar{i}_{M,R}$ が同型になるか？
• RQ5 ニュートン分解は誘導写像と整合するか、すなわち $\bar{i}_v$ が $\bar{H}(M;v)$ を $\bar{H}(\bar{v})$ に写すか？

主な発見

• 任意のリーマン部分群 $M$ およびニュートン成分 $v$ に対して、誘導写像 $\bar{i}_v: \bar{H}(M;v) \to \bar{H}(\bar{v})$ は全射である。
• 写像 $\bar{i}_v$ はヤコブティ関手 $r_{M,R}$ と随伴する。すなわち、すべての $\pi \in \mathfrak{R}(G)_R$ に対して $\mathrm{Tr}^G(\bar{i}_v(f), \pi) = \mathrm{Tr}^M(f, r_{M,R}(\pi))$ が成り立つ。
• 特徴関数零において、写像 $\bar{i}_\nu: \bar{H}(M;\nu) \xrightarrow{\cong} \bar{H}(\bar{\nu})$ は同型である。これは強い構造的結果を示している。
• $\bar{H}(G)_R$ 上のトレース写像の核は $\bigoplus_{v \in V_+} (\ker \mathrm{Tr}^G_R \cap \bar{H}_R(v))$ と分解され、ニュートン成分と整合することが示された。
• $\bar{i}_v^{-1}(\ker \mathrm{Tr}^G_R \mid_{\bar{H}_R(\bar{v})}) = \ker \mathrm{Tr}^M_R \mid_{\bar{H}_R(M;v)}$ を満たす。これはトレース写像の核と整合することが確認された。
• 構成は $\mathbb{Z}[1/p]$ 上の整数的構造を保ち、mod-$l$ 表現への応用が可能であり、特徴関数零を超える結果の拡張を可能にする。