[論文レビュー] Cohomological Hall algebras and affine quantum groups

Yaping Yang, Gufang Zhao|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意のクーヴィー $Q$ と形式的群 $\mathbb{G}$ に対して、前射影的コホモロジー的ホール代数（CoHA）に余乗法を構成し、それによって双代数とし、そのドリンフェルト双対を定義する。この双対は、$Q$ に関連する対称カック＝ムーディ代数 $\mathfrak{g}_Q[[u]]$ の普遍包あくり代数 $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$ の量子化を実現する。$\mathbb{G}$ が加法群の場合、ドリンフェルト双対はドリンフェルト＝ジムボのヤングアン $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$ に同型であり、CoHA およびシャッフル代数を用いた新しい代数的実現として、アフィン型量子群を提供する。

ABSTRACT

We study the preprojective cohomological Hall algebra (CoHA) introduced by the authors in an earlier work for any quiver $Q$ and any one-parameter formal group $\mathbb{G}$. In this paper, we construct a comultiplication on the CoHA, making it a bialgebra. We also construct the Drinfeld double of the CoHA. The Drinfeld double is a quantum affine algebra of the Lie algebra $\mathfrak{g}_Q$ associated to $Q$, whose quantization comes from the formal group $\mathbb{G}$. We prove, when the group $\mathbb{G}$ is the additive group, the Drinfeld double of the CoHA is isomorphic to the Yangian.

研究の動機と目的

• 任意のクーヴィー $Q$ と形式的群 $\mathbb{G}$ に対して、前射影的コホモロジー的ホール代数（CoHA）に余乗法を構成し、双代数とすること。
• この双代数のドリンフェルト双対を定義し、それによって $Q$ に関連する対称カック＝ムーディ代数 $\mathfrak{g}_Q$ の普遍包あくり代数 $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$ の量子化を実現すること。
• CoHAフレームワークを用いて、既知のものも含めた新しいアフィン型量子群を一様に代数的に構成すること。
• 形式的群 $\mathbb{G}$ が加法群である場合、CoHA のドリンフェルト双対がドリンフェルト＝ジムボのヤングアン $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$ に同型であることを示すこと。

提案手法

• 構成は、CoHA の球面拡張 $\mathcal{P}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}}(Q,A)$ を用いる。これは二つの等変パラメータ $t_1, t_2$ を持つシャッフル代数である。
• アデール版の代数上の留数ペアリングを用いて、$\Delta: \underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}} \to \underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}} \widehat{\otimes} \underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}}$ として余乗法を定義する。
• 非退化な双代数ペアリングを用いてドリンフェルト双対を構成し、乗法と余乗法が元の双代数と同じ式で定義される。
• 構成はシャッフル代数の構造と、前射影的代数の表現のモジュライの幾何学に依存する。
• トーショントを商して除去し、対称性条件 $H_k^+(u) = H_k^-(-u)$ を課すことによって、削減されたドリンフェルト双対 $\overline{D}(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$ を定義する。
• 生成子 $x_k^+(u), x_k^-(u), \xi_k(u)$ を双対の $E_k(u), F_k(u), H_k(u)$ に写像し、留数計算によりヤングアンの関係式を検証することで、ヤングアンとの同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のクーヴィー $Q$ と形式的群 $\mathbb{G}$ に対して、前射影的コホモロジー的ホール代数に余乗法を定義し、双代数とできるか？
• RQ2 この双代数のドリンフェルト双対は、対応する対称カック＝ムーディ代数 $\mathfrak{g}_Q$ の $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$ の量子化を実現するか？
• RQ3 形式的群 $\mathbb{G}$ が加法群である場合、ドリンフェルト双対はドリンフェルト＝ジムボのヤングアンに同型か？
• RQ4 形式的群 $\mathbb{G}$ が楕円曲線である場合、この構成は [Fed94] の楕円量子群を回復できるか？
• RQ5 有限型およびアフィン型ディンキン型クーヴィーに対して、ヤングアンから削減されたドリンフェルト双対への写像が同型か？

主な発見

• 前射影的コホモロジー的ホール代数 $\mathcal{P}(Q,A)$ は、代数のアデール版上の留数ペアリングによって定義される余乗法 $\Delta$ を持ち、双代数である。
• ドリンフェルト双対 $D(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$ は $U(\mathfrak{g}_Q[[u]])$ の量子化であり、完成化テンソル積上の留数を用いたペアリングによって定義される。
• $\mathbb{G}$ が加法群の場合、$t_1 = t_2 = \hbar/2$ における削減されたドリンフェルト双対 $\overline{D}(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$ は、エッジループを含まないクーヴィーに対してドリンフェルト＝ジムボのヤングアン $Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$ に同型である。
• 有限型クーヴィーに対しては、$Y_\hbar(\mathfrak{g}_Q)$ から $\overline{D}(\underline{\mathcal{P}}^{\mathfrak{s},\mathfrak{e}})$ への写像が同型であることが、三角分解の一致によって確認された。
• この構成は、代数群から来ない形式的群に対しても一般化され、新しいアフィン型量子群を生成する。また、$\mathbb{G}$ が楕円曲線である場合、[Fed94] の楕円量子群を回復する。
• ドッブルヤングアン $DY_\hbar(\mathfrak{g})$ は、削減されたバージョンのドリンフェルト双対に埋め込まれると予想され、この CoHA フレームワークを通じて、より広範な双対量子群の実現が可能であると考えられる。