[論文レビュー] Cohomology jump loci of compact Kähler manifolds

Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなカハラー多様体上のベクトル bundle の表現多様体およびモジュライ空間におけるコhomologyジャンプlocusの理論を、自明な表現を超えて拡張する。微分 graded Lie 代数（DGLA）上のモジュールを導入することにより、局所的にコhomologyジャンプlocusの解析的ジェルムが指数写像を介してリゾナンス多様体に同型であることを確立し、Dimca-Papadimaの先行結果を一般化するとともに、任意の半単純表現におけるこれらのlocusの幾何に新たな局所的制約をもたらす。

ABSTRACT

We apply the method of Dimca-Papadima to study the cohomology jump loci in the representation variety and the moduli space of vector bundles with vanishing chern classes for a compact Kähler manifold. We introduce modules over differential graded Lie algebra to extend results of Dimca-Papadima to a general point in the representation variety or the moduli space. We show that locally the cohomology jump loci is isomorphic to the resonance variety via the exponential map. This paper generalizes a previous result of the author.

研究の動機と目的

• コンパクトなカハラー多様体に対して、表現多様体におけるコhomologyジャンプlocusの研究を自明な表現を超えて拡張すること。
• 微分 graded Lie 代数（DGLA）およびDGLA上のモジュールを用いた変形理論的枠組みを構築し、コhomologyジャンプlocusの局所構造を制御すること。
• 任意の半単純表現において、指数写像を介してコhomologyジャンプlocusとリゾナンス多様体の間の局所同型を確立すること。
• これらのlocusの構造を通じて、コンパクトなカハラー多様体の基本群に新たな幾何的およびコhomologicalな制約をもたらすこと。

提案手法

• DGLAとその上のモジュールからなるDGLAペアを導入し、DGLAが表現多様体の変形を制御し、モジュールがコホモロジー群の変形を制御することを定義する。
• 多様体のde Rham複体およびねじれた複体 $\Omega^{\bullet}_{\textrm{DR}}(L_\rho)$ と $\operatorname{End}^\bullet(L_\rho)$ を用いて、表現 $\rho$ の近傍における局所幾何をモデル化する。
• 基点における増幅写像の核 $\mathcal{E}nd^{\bullet}_0(L_\rho)$ を定義し、局所変形データを捉える。
• Goldman-Millson定理を適用して、表現多様体 $\mathbf{R}(X,n)$ が $H^1(X, \operatorname{End}(L_\rho))$ 内の二次錐 $C$ に局所的に同型であることを示す。
• DGLAモデルにおける平坦接続の形式的スキームと、表現多様体の $\rho$ における形式的スキームとの間の同型を確立する。
• 指数写像を用いて、DGLA設定におけるコhomologyジャンプlocusの局所構造とリゾナンス多様体との関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなカハラー多様体上の表現多様体における非自明な表現におけるコhomologyジャンプlocusの局所構造は、どのように記述できるか？
• RQ2 微分 graded Lie 代数およびその上のモジュールは、局所系とそのコホモロジーの変形理論をどのように制御するか？
• RQ3 半単純表現におけるコhomologyジャンプlocusが、指数写像を介してリゾナンス多様体にどの程度類似しているか？
• RQ4 ベッチモジュライ空間における絶対的構成的集合の局所幾何は、指数写像を介して錐として特徴付けられるか？
• RQ5 これらの局所同型は、コンパクトなカハラー多様体の基本群にどのような制約をもたらすか？

主な発見

• 任意の半単純表現 $\rho$ において、表現多様体 $\mathbf{R}(X,n)$ の解析的ジェルムは $H^1(X, \operatorname{End}(L_\rho))$ 内の二次錐に局所的に同型であり、Goldman-Millsonの結果を一般化する。
• コホモロジー・ジャンプlocus $\mathcal{V}^i_r(X,n)$ は、指数写像を介してリゾナンス多様体に局所的に同型であり、Dimca-Papadimaの枠組みを自明な表現を超えて拡張する。
• 無限大表現 $\rho$ に対して、$\mathcal{M}_{\textrm{B}}(X,n)$ の $\rho$ における局所構造は形式的錐 $C_{(0)}$ に同型であり、各コホモロジー・ジャンプlocusはこの空間内の錐に対応する。
• コホモロジー・ジャンプlocusは、Corollary 5.1により、平坦バンドルのモジュライ空間に適用可能であり、局所的に二次特異点をもつ。
• 結果から、ベッチモジュライ空間における閉じた絶対的構成的集合は、指数写像を介して局所的に錐的であるはずであり、Simpsonの結果（部分トーラスのねじれ平行移動）を一般化する。
• $n=1$ のとき、リゾナンス多様体への局所同型は、コホモロジー・ジャンプlocusが部分トーラスのねじれ平行移動の和集合であることを示し、新しい手法により既知の結果を回復する。