[論文レビュー] Cohomology Jumping Loci and Relative Malcev Completion

Anthony Narkawicz|ArXiv.org|Apr 25, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、超平面配置の補集合の基本群の相対的マルチェフ完成を導入し、単調完成と局所係数のコホモロジーを統合する。相対的マルチェフ完成が、コホモロジー群 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ および $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $ によって制御されることを確立し、一般の表現に対して関連するスペクトル系列が退化することを証明する。これにより、完成が局所係数のコホモロジーによって決定されることを示す。

ABSTRACT

Two standard invariants used to study the fundamental group G of the complement X of a hyperplane arrangement are the Malcev completion of G and the cohomology groups of X with coefficients in rank one local systems. In this paper, we develop a tool that unifies these two approaches. This tool is the Malcev completion S_p of G relative to a homomorphism p from G into (C^*)^N. This is a prosolvable group that is tightly controlled by the cohomology groups of X with coefficients in rank one local systems. The prounipotent radical U_p of the relative completion S_p corresponds to a pronilpotent Lie algebra u_p. We provide an example of a hyperplane complement X for which this algebra is not quadratically presented. In addition, we show that if X is a hyperplane complement and Y is a subtorus of the character torus, then S_p is combinatorially determined for general p in Y. Finally, we show that the relative completion S_p is generally constant over subvarieties of the character torus.

研究の動機と目的

• 超平面配置の補集合の2つの標準的不変量を統合すること：基本群のマルチェフ完成と局所係数のコホモロジー。
• $ \pi_1(X,x_0) $ の相対的マルチェフ完成を、表現 $ \boldsymbol{\rho} \to (\mathbb{C}^*)^N $ に関して定義・研究し、標準的マルチェフ完成を一般化すること。
• 相対的マルチェフ完成が、$ \mathbb{V}_\alpha $ がランク1の局所係数であるときのコホモロジー群 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ および $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $ によって制御されることを示すこと。
• 一般の表現に対してスペクトル系列の退化結果を確立し、完成がコホモロジー的データによって決定されることを示すこと。
• 一般の $ \boldsymbol{\rho} $ に対して、相対的完成のためのエイレンベルク＝モアスペクトル系列が $ E_\infty $ で退化することを、$ \mathcal{O}(Y) $-加群上のノエター環の議論により証明すること。

提案手法

• 相対的マルチェフ完成 $ \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} $ を、$ 1 \to \mathcal{U}_{\boldsymbol{\rho}} \to \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} \to D_{\boldsymbol{\rho}} \to 1 $ というプロ代数的群の拡大として定義する。ここで $ D_{\boldsymbol{\rho}} $ は $ \boldsymbol{\rho}(\pi_1(X,x_0)) $ の $ (\mathbb{C}^*)^N $ 内のザリスキ閉包である。
• 有理型ホモトピー論を用いて、cdga $ E^\bullet(X, \mathcal{O}_{\boldsymbol{\rho}}) = \bigoplus_{\alpha \in D_{\boldsymbol{\rho}}^\vee} E^\bullet(X, \mathbb{V}_\alpha) \otimes V_\alpha^* $ から、プロ-nilpotent Lie代数 $ \mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}} $ を構成する。
• $ D_{\boldsymbol{\rho}} $--equivariant 同型を確立する：$ \prod_{\alpha} H^1(X, \mathbb{V}_\alpha)^* \otimes V_\alpha \cong H_1(\mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}}) $ および $ \prod_{\alpha} H^2(X, \mathbb{V}_\alpha)^* \otimes V_\alpha \twoheadrightarrow H_2(\mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}}) $。
• $ \mathcal{O}(Y) $ 上の削減されたバー構成に対して、エイレンベルク＝モアスペクトル系列 $ E_n(Y) $ を構成し、$ E_1^{-s,t}(Y) = [H^+(X, \mathcal{O}_Y)^{\otimes s}]^t \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathcal{O}(D_Y) $ とする。
• $ E_n(Y) $ が可算生成 $ \mathcal{O}(Y) $-加群の複体であることを証明し、定理9.14を用いてノエター性により $ E_1 $ から $ E_\infty $ への同型の帰納的持ち上げを行う。
• 一般の $ \boldsymbol{\rho} \in Y $ に対して、自然な写像 $ E_\infty(Y) \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathbb{C}_{\boldsymbol{\rho}} \to E_\infty(\boldsymbol{\rho}) $ が同型であることを、像の稠密性とコホモロジーの基底変換を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超平面配置の補集合の基本群のマルチェフ完成を、$ (\mathbb{C}^*)^N $ への表現に一般化する方法は何か？
• RQ2 コホモロジー群 $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ および $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $ と相対的マルチェフ完成の構造との間の明確な関係は何か？
• RQ3 相対的完成のためのエイレンベルク＝モアスペクトル系列が $ E_\infty $ で退化する条件は何か？
• RQ4 $ Y $ が $ (\mathbb{C}^*)^N $ の部分多様体であるとき、一般の点 $ \boldsymbol{\rho} \in Y $ への基底変換において相対的マルチェフ完成はどのように振る舞うか？
• RQ5 相対的マルチェフ完成はどの程度局所係数のコホモロジーによって決定され、いつ quadratic presentation を満たすか？

主な発見

• 相対的マルチェフ完成 $ \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} $ は、$ 1 \to \mathcal{U}_{\boldsymbol{\rho}} \to \mathcal{S}_{\boldsymbol{\rho}} \to D_{\boldsymbol{\rho}} \to 1 $ というプロ代数的群の拡大であり、$ \boldsymbol{\rho} $ を上に引き上げるような拡大として普遍的である。
• プロ-nilpotent Lie代数 $ \mathfrak{u}_{\boldsymbol{\rho}} $ は cdga $ E^\bullet(X, \mathcal{O}_{\boldsymbol{\rho}}) $ から構成され、そのホモロジーは $ D_{\boldsymbol{\rho}} $--equivariant 写像を通じて $ H^1(X, \mathbb{V}_\alpha) $ および $ H^2(X, \mathbb{V}_\alpha) $ によって制御される。
• 一般の $ \boldsymbol{\rho} \in Y $ に対して、自然な写像 $ E_\infty(Y) \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathbb{C}_{\boldsymbol{\rho}} \to E_\infty(\boldsymbol{\rho}) $ が同型である。これは、スペクトル系列が $ E_\infty $ で退化することを示唆する。
• エイレンベルク＝モアスペクトル系列 $ E_n(Y) $ は可算生成 $ \mathcal{O}(Y) $-加群の複体であり、この性質により定理9.14を用いて $ E_1 $ から $ E_\infty $ への同型の帰納的持ち上げが可能である。
• $ \boldsymbol{\rho} $ が $ G_Y $ においてザリスキ的に稠密であるとき、コホモロジー基底変換 $ H^\bullet(X, \mathcal{O}_Y) \otimes_{\mathcal{O}(Y)} \mathbb{C}_{\boldsymbol{\rho}} \to H^\bullet(X, \mathcal{O}_{\boldsymbol{\rho}}) $ が同型である。これにより、コホモロジー的データの整合性が保証される。
• 本稿で示される反例により、相対的マルチェフ完成は一般に1-形式的ではないことが判明し、マッセイ積が不定性の下で消えない可能性があることが示唆される。