[論文レビュー] Cohomology of mapping class groups and the abelian moduli space

Jørgen Ellegaard Andersen, Rasmus Villemoes|ArXiv.org|Mar 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、 genus $ g \geq 3 $ の曲面の写像類群 $ \Gamma $ に対して、アーベルモジュライ空間 $ M = \operatorname{Hom}(H_1(\Sigma), \mathrm{U}(1)) $ 上の $ L^2(M) $ および $ C^\infty(M) $ への作用に関して、1次コホモロジー群 $ H^1(\Gamma, L^2(M)) $ と $ H^1(\Gamma, C^\infty(M)) $ が消えることを証明する。証明は、$ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}) $ の性質 (T)、Hochschild-Serre 譜系、およびユニタリ表現におけるデーン回転の射影に関する重要な消滅条件を活用し、これらの係数モジュールに非自明な1次コサイクルが存在しないことを確立する。

ABSTRACT

We consider a surface $Σ$ of genus $g \geq 3$, either closed or with exactly one puncture. The mapping class group $Γ$ of $Σ$ acts symplectically on the abelian moduli space $M = \Hom(π_1(Σ), U(1)) = \Hom(H_1(Σ),U(1))$, and hence both $L^2(M)$ and $C^\infty(M)$ are modules over $Γ$. In this paper, we prove that both the cohomology groups $H^1(Γ, L^2(M))$ and $H^1(Γ, C^\infty(M))$ vanish.

研究の動機と目的

• 写像類群 $ \Gamma $ がアーベルモジュライ空間 $ M $ の $ L^2 $-関数に作用する際、$ H^1(\Gamma, L^2(M)) $ の消滅を確立すること。
• この結果を滑らか関数の空間へ拡張し、$ H^1(\Gamma, C^\infty(M)) = 0 $ を証明すること。
• $ \Gamma $ の無限次元ユニタリ表現における非自明な1次コサイクルの存在を反証する証拠を提供すること、これはカジダンの性質 (T) に関連する。
• ユニタリ表現における消滅結果を一般化し、デーン回転の固定部分空間への直交射影を含む必要条件を証明すること。

提案手法

• Hochschild-Serre 譜系を用いて、$ H^1(\Gamma, \ell^2(H')) $ を $ H^1(\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}), \ell^2(H')) $ および $ H^1(\mathcal{T}, \ell^2(H'))^\Gamma $ に関連づける。ここで $ \mathcal{T} $ はトーリー群である。
• デーン回転によるバウンディングペア写像の不変性と射影条件 $ p_\gamma u(\tau_\gamma) = 0 $ を用いて、任意のコサイクルがトーリー群に制限されたときに0であることを示す。
• $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}) $ が性質 (T) を持つことから、$ H^1(\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}), \ell^2(H')) = 0 $ が従う。
• $ \ell^2(H') $ と $ L^2_0(M) $ の間の $ \Gamma $-モジュールとしての同型を、$ H_1(\Sigma, \mathbb{Z}) $ の双対 $ H' $ によってインデックスづけられた正規直交基底を用いて確立する。
• 滑らか関数の場合、$ C^\infty_0(M) \to \ell^2(H') $ の埋め込みを用い、コサイクルの $ \ell^2(H') $ 上への持ち上げが、デーン回転軌道に沿ったテレスコピング和を用いたフーリエ係数の減衰推定により滑らかであることを示す。
• デーン回転下での $ \tau_j^r m $ のノルムの厳密な増加を用いて、$ |f_m| $ を差分 $ g_{m,j}^\pm $ の和で評価し、$ |f_m| \leq G_{k+1}/(k|m|^k) $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像類群 $ \Gamma $ がアーベルモジュライ空間 $ M $ に作用する際、1次コホモロジー群 $ H^1(\Gamma, L^2(M)) $ は消えるか？
• RQ2 同じ作用に関して、1次コホモロジー群 $ H^1(\Gamma, C^\infty(M)) $ は消えるか？
• RQ3 ユニタリ表現 $ V $ に対して、デーン回転の射影を含む必要条件を用いて、$ H^1(\Gamma, V) $ の消滅を確立できるか？
• RQ4 トーリー群の $ \ell^2(H') $ への作用は、任意のコサイクルが0に制限されるようになっているか？ これにより $ \mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}) $ への還元が可能になるか？
• RQ5 デーン回転下での差分の滑らかさから、$ \ell^2(H') $ 内の関数の滑らかさを導けるか？

主な発見

• 1次コホモロジー群 $ H^1(\Gamma, L^2(M)) $ は消える。これは、$ H^1(\mathrm{Sp}(2g,\mathbb{Z}), \ell^2(H')) = 0 $ を示し、Hochschild-Serre 譜系を用いて問題をトーリー群に還元することで証明される。その際、トーリー群上のコサイクルは消える。
• 1次コホモロジー群 $ H^1(\Gamma, C^\infty(M)) $ は消える。滑らかなコサイクルを $ \ell^2(H') $ に持ち上げ、対応する関数 $ f \in \ell^2(H') $ がフーリエ係数の減衰推定により滑らかであることを示すことで証明される。
• 主な技術的道具は、任意のコサイクル $ u $ に対して成り立つ恒等式 $ p_\gamma u(\tau_\gamma) = 0 $ である。ここで $ p_\gamma $ はデーン回転 $ \tau_\gamma $ の固定部分空間への直交射影である。この恒等式はすべてのユニタリ表現で成り立つ。
• トーリー群は genus-1 のバウンディングペア写像で生成され、それらの生成子上で任意のコサイクルが消える。これは、共役による不変性と射影条件のおかげである。
• $ \ell^2(H') $ と $ L^2_0(M) $ の間の $ \Gamma $-モジュールとしての同型により、$ \ell^2(H') $ からのコホモロジー的結果を $ L^2(M) $ へ移すことができる。
• テレスコピング和を用いた軌道に沿った減衰推定により得られる不等式 $ |f_m| \leq G_{k+1}/(k|m|^k) $ は、$ f \in \ell^2(H') $ が、そのデーン回転下での差分が滑らかであれば、$ f $ 自身が滑らかであることを保証する。