[論文レビュー] Combinatorial Secretary Problems with Ordinal Information

Martin Hoefer, Bojana Kodric|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Optimization and Search Problems参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、正確な数値ではなく相対順位のみが入手可能な順序情報下での組合せ的秘書問題を導入し、分析する。二部マッチング、一般のパッキングLP、局所的独立数が有界なグラフにおける独立集合の問題に対して、新たな定数競合比を達成するアルゴリズムを提示する。一方で、しきい値に基づく手法が順序モデルでは失敗することを示し、構造を無視するアルゴリズムに対してΩ(√n/log n)の下界を確立する。

ABSTRACT

The secretary problem is a classic model for online decision making. Recently, combinatorial extensions such as matroid or matching secretary problems have become an important tool to study algorithmic problems in dynamic markets. Here the decision maker must know the numerical value of each arriving element, which can be a demanding informational assumption. In this paper, we initiate the study of combinatorial secretary problems with ordinal information, in which the decision maker only needs to be aware of a preference order consistent with the values of arrived elements. The goal is to design online algorithms with small competitive ratios. For a variety of combinatorial problems, such as bipartite matching, general packing LPs, and independent set with bounded local independence number, we design new algorithms that obtain constant competitive ratios. For the matroid secretary problem, we observe that many existing algorithms for special matroid structures maintain their competitive ratios even in the ordinal model. In these cases, the restriction to ordinal information does not represent any additional obstacle. Moreover, we show that ordinal variants of the submodular matroid secretary problems can be solved using algorithms for the linear versions by extending [Feldman and Zenklusen, 2015]. In contrast, we provide a lower bound of Omega(sqrt(n)/log(n)) for algorithms that are oblivious to the matroid structure, where n is the total number of elements. This contrasts an upper bound of O(log n) in the cardinal model, and it shows that the technique of thresholding is not sufficient for good algorithms in the ordinal model.

研究の動機と目的

• 正確な数値ではなく、要素の相対順位のみが分かっている順序モデル下での組合せ的秘書問題を研究すること。
• 基数モデルで既存のアルゴリズムが、類似した競合比を達成できるように順序情報に適応可能かどうかを特定すること。
• 二部マッチングや独立集合といった重要な組合せ問題において、順序モデル下で定数競合比を達成する新しいオンラインアルゴリズムを設計すること。
• マトロイド秘書問題において、構造を無視するアルゴリズムに対して、Ω(√n/log n)の下界を証明することで、順序アルゴリズムの根本的限界を確立すること。
• 順序モデル下での線形および単調減少関数のマトロイド秘書問題の関係を調査すること。

提案手法

• 正確な重みに依存する代わりに、到着順の相対順位に基づく比較に置き換えることで、基数モデルの既存アルゴリズムを順序モデルに適応する。
• 二段階のサンプリング戦略を導入する：代表的なサンプルを構築するための学習フェーズと、順序比較に基づく貪欲選択を用いる受容フェーズ。
• 二部マッチングの問題では、頂点を左側と右側の集合に分割し、サンプル部分グラフ上で貪欲マッチングを用いてエッジ選択を誘導する。
• 一般のグラフと独立集合の問題では、確率p = √(α₁/(α₁+1))で頂点をサンプル集合に割り当てる確率的サンプリング手法を用い、コイン投げ機構を併用した貪欲選択を実施する。
• 期待値と最適オフライン解との関係を確立するために、確率的評価とマルコフの不等式を用いて性能を分析する。
• 競合比の保証を維持したまま解析を簡素化するために、アルゴリズムを同等のシミュレーション形式（例：アルゴリズム7）に再定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マトロイド秘書問題の既存の定数競合比アルゴリズムは、性能の劣化を伴わずに順序モデルに適応可能か？
• RQ2 順序情報が与えられた場合のオンライン二部マッチングで達成可能な最良の競合比は何か？
• RQ3 順序情報のみが利用可能な状況下で、一般のパッキングLPおよび独立集合問題に対して定数競合比を達成するアルゴリズムを設計可能か？
• RQ4 基数モデルで有効なしきい値技法は、順序モデルでも良好な性能を発揮するのに十分か？
• RQ5 マトロイドやグラフ構造を活用しないアルゴリズムは、順序秘書設定においてどのような根本的限界を有するか？

主な発見

• 順序情報下でのオンライン二部マッチングに対して、2e-competitiveなアルゴリズムを構築し、定数競合比を達成した。
• 変数あたりの非ゼロ要素がd個以下である一般のパッキングLPに対して、O(d(B+1)/B)-competitiveなアルゴリズムを提示した。ここでBはタイトネスパラメータである。
• 一般グラフにおけるオンラインマッチングに対して8.78-competitiveなアルゴリズムを設計したが、後続の洗練されたサンプリング戦略により12e/(e+1) < 8.78に改善された。
• 局所的独立数α₁が有界なグラフにおける重み付き独立集合に対して、O(α₁²)-competitiveなアルゴリズムを達成した。特に、単位ディスクグラフではα₁ = 5である。
• マトロイド秘書問題において、構造を無視するアルゴリズムに対して、Ω(√n / log n)の下界を証明した。これにより、しきい値手法が不十分であることが示された。
• 多くのマトロイド秘書問題アルゴリズムにおいて、順序モデルは性能を劣化させない。特殊なマトロイドタイプに対して既存の定数競合比アルゴリズムは、順序アクセス下でも有効である。