[論文レビュー] Comments on "Stronger Uncertainty Relations for All Incompatible Observables"

Vishnu M. Bannur|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、マコネとパティが提案したより強い不確定性関係を批判し、それらの結果が複素重ね合わせ状態にシュワルツの不等式を適用したより一般的な不確定性枠組みの特殊ケースであることを示している。著者らは、主張された改善が普遍的に強いものではなく、特定の直交状態の選択によって標準的なハイゼンベルク＝ロバートソンまたはシュレーディンガーの関係に還元されることを示しており、元の論文における非自明な下界に関する一部の主張を無効にしている。

ABSTRACT

Recently, Maccone and Pati \cite{pa.1} derived new uncertainty relations which they claim to be stronger than Heisenberg-Robertson or Schrodinger uncertainty relations. Here we comment that their work is a special case of a more general uncertainty relation and we reexamine some of their conclusions.

研究の動機と目的

• マコネとパティの不確定性関係が、既存の形式よりも普遍的に強いとされる主張を挑戦すること。
• 彼らの結果の数学的起源を、シュワルツの不等式を用いて導かれたより広いクラスの不確定性関係の中に特定すること。
• 特に非自明な下界に関する誤解を是正すること。
• 特定の状態の選択下で、提案された関係が標準的なハイゼンベルク＝ロバートソンまたはシュレーディンガー形式に還元されることを示すこと。

提案手法

• 複素状態 $|\phi\rangle = |\psi_1\rangle + i\alpha|\psi_2\rangle$ を構築し、ここで $|\psi_1\rangle = (A - \langle A\rangle)|\psi\rangle$ および $|\psi_2\rangle = (B - \langle B\rangle)|\psi\rangle$ であり、$\alpha$ は自由な実数パラメータである。
• 状態 $|\phi\rangle$ にシュワルツの不等式を適用し、分散と期待値を含む複素不等式を導出する。
• $\alpha$ について最小化することで一般化された不確定性関係（式 2）を導出し、それがハイゼンベルク＝ロバートソン関係と等価な形に還元されることを示す。
• $|\phi\rangle = |\psi_1\rangle + (\beta + i\alpha)|\psi_2\rangle$ とすることで第二のパラメータ $\beta$ を導入し、一般化されたハイゼンベルク＝ロバートソン＝シュレーディンガー関係（式 3）を導出する。
• 交換子と反交換子の項を組み合わせた、簡潔な形（式 4）で最終的な境界を表現する。
• スピン-1粒子の例を用いて形式主義をテストし、マコネとパティの主張と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マコネとパティが提案したより強い不確定性関係は、本当に既存の形式よりも普遍的またはタイトであるのか？
• RQ2 彼らの結果は、より広い不確定性枠組みの特殊ケースとして導出可能か？
• RQ3 特定の直交状態、例えば $|\psi^\perp\rangle = |\psi_1\rangle / \Delta A$ を選んだ場合、その不等式の下界はどのように変化するのか？
• RQ4 彼らの関係は非自明なままであるのか、それとも特定の状態の選択によってゼロまたは標準的な境界に収束するのか？
• RQ5 明示的な状態の選択でテストした際、彼らの例における非ゼロの下界の主張は正当か？

主な発見

• マコネとパティの $\alpha = \pm 1$ における不確定性関係は、シュワルツの不等式を用いて導かれたより一般的な不確定性枠組みの特殊ケースである。
• 状態 $|\psi^\perp\rangle = |\psi_1\rangle / \Delta A$ または $|\psi^\perp\rangle = |\psi_2\rangle / \Delta B$ を選んだ場合、一般化された関係は標準的なハイゼンベルク＝ロバートソン不確定性関係に還元される。
• 同じ状態の選択下で、マコネとパティの式 (4) の下界は意味を失い、両辺がゼロになる。
• スピン-1の例では、式 (4) は非ゼロの等しい両辺を与えるが、式 (3) はすべての $\theta$ に対してゼロを与える。これは非自明な境界の主張と矛盾する。
• 一般化された関係（式 3）は交換子と反交換子の補正を含んでおり、ハイゼンベルク＝ロバートソン＝シュレーディンガー形式の真の一般化であることが示された。
• 著者らは結論として、マコネとパティの結果は、より広範かつ一般性の高い形式に包含されているため、根本的な改善ではないと結論づけている。