[論文レビュー] Comparing fat graph models of moduli space

Daniela Egas Santander|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、開-閉モジュライ空間の2つの組合せ的モデル、Godinの許容的太いグラフとCostelloの黒-白グラフの間の直接的・積分的関係を確立する。アーキペックス複体の収縮性を用いて、許容的太いグラフが開-閉コボルディズムの写像類群をモデル化することの新しい証明を与え、これを拡張して黒-白グラフに対しても同様の積分的モデル化を示す。本質的に、両モデルに境界に沿ったコボルディズムの貼り合わせを模倣する合成構造を導入し、黒-白グラフが開-閉コボルディズム圏のモデルであることを証明する。

ABSTRACT

Godin introduced the categories of open closed fat graphs $Fat^{oc}$ and admissible fat graphs $Fat^{ad}$ as models of the mapping class group of open closed cobordism. We use the contractibility of the arc complex to give a new proof of Godin's result that $Fat^{ad}$ is a model of the mapping class group of open-closed cobordisms. Similarly, Costello introduced a chain complex of black and white graphs $BW$-Graphs, as a rational homological model of mapping class groups. We use the result on admissible fat graphs to give a new integral proof of Costellos's result that $BW$-Graphs is a homological model of mapping class groups. The nature of this proof also provides a direct connection between both models which were previously only known to be abstractly equivalent. Furthermore, we endow Godin's model with a composition structure which models composition of cobordisms along their boundary and we use the connection between both models to give $BW$-Graphs a composition structure and show that $BW$-Graphs are actually a model for the open-closed cobordism category.

研究の動機と目的

• Godinの許容的太いグラフモデルとCostelloの黒-白グラフモデルの間の直接的・積分的関係を、開-閉モジュライ空間において確立すること。
• アーキペックス複体の収縮性を用いて、許容的太いグラフが開-閉コボルディズムの写像類群をモデル化することの新しい証明を与えること。
• 両モデルに、境界成分に沿ったコボルディズムの貼り合わせを幾何的に模倣する合成構造を導入すること。
• 黒-白グラフ複体がホモロジー的モデルにとどまらず、開-閉コボルディズム圏のモデルであることを示すこと。

提案手法

• アーキペックス複体の収縮性を用いて、許容的太いグラフの圏が開-閉コボルディズムの写像類群をモデル化することを証明する。
• 黒-白グラフを許容的太いグラフとの対応関係を通じて再解釈し、Costelloの結果の積分的ホモロジー的証明を可能にする。
• 閉境界および開境界成分に沿ったコボルディズムの合成を模倣する、許容的太いグラフ上の位相的貼り合わせ写像を定義する。
• 白頂点の削除と辺の同定を用いて、黒-白グラフ上に貼り合わせを符号化するチェイン写像 ∘_BW を構成する。
• 準セル上の貼り合わせ写像の像が、得られた黒-白グラフによってインデックスづけられた準セルの和集合に正確に一致することを示す。
• 合成写像が結合的であり、分類空間上の位相的合成写像のチェインモデルを誘導することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 許容的太いグラフを用いて、開-閉モジュライ空間のホモトピー型をどのように積分的にモデル化できるか？
• RQ2 抽象的同値性を越えて、Godinの許容的太いグラフとCostelloの黒-白グラフの間の直接的関係は何か？
• RQ3 黒-白グラフ複体に、境界成分に沿ったコボルディズムの貼り合わせを模倣する合成構造を定義できるか？
• RQ4 この合成構造を備えた黒-白グラフ複体は、開-閉コボルディズム圏のモデルであるか？

主な発見

• 許容的太いグラフの圏は、アーキペックス複体の収縮性を用いた証明により、開-閉コボルディズムの写像類群の新しい積分的モデルを提供する。
• 許容的太いグラフとの関係を用いることで、黒-白グラフ複体が積分的証明により写像類群のホモロジー的モデルであることが示された。
• Godinの許容的太いグラフモデルに、閉境界および開境界成分に沿ったコボルディズムの貼り合わせを幾何的に模倣する合成構造が定義された。
• 確立された対応関係を通じて、黒-白グラフ複体は合成構造を引き継ぎ、開-閉コボルディズム圏のモデルとなった。
• 黒-白グラフ上の合成写像 ∘_BW が、分類空間上の位相的合成写像のチェインモデルであることが示された。
• 準セル上の貼り合わせ写像の像が、得られた黒-白グラフによってインデックスづけられた準セルの和集合に正確に一致し、モデルの整合性が確認された。