[論文レビュー] Comparison of QAOA with Quantum and Simulated Annealing

Michael Streif, Martin Leib|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 20被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）が、多項式的成長する回路深さで組合せ最適化問題のクラスを正確に解けることを示している。一方、量子断熱（QA）とシミュレーテッドアニーリング（SA）は、指数的に小さい成功確率のため失敗する。主な結果は、干渉に基づくQAOAとフラクチュエーション駆動のヒューリスティクス（QAやSA）との根本的分離であり、前者は局所的最小値に閉じ込められる後者とは異なり、決定的な解を達成する。

ABSTRACT

We present a comparison between the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) and two widely studied competing methods, Quantum Annealing (QA) and Simulated Annealing (SA). To achieve this, we define a class of optimization problems with respect to their spectral properties which are exactly solvable with QAOA. In this class, we identify instances for which QA and SA have an exponentially small probability to find the solution. Consequently, our results define a first demarcation line between QAOA, Simulated Annealing and Quantum Annealing, and highlight the fundamental differences between an interference-based search heuristic such as QAOA and heuristics that are based on thermal and quantum fluctuations like SA and QA respectively.

研究の動機と目的

• 組合せ最適化問題においてQAOAを量子断熱（QA）およびシミュレーテッドアニーリング（SA）と比較すること。
• 1つのパラメータブロック（p=1）を用いて正確に解ける問題のクラスを特定すること。
• QAOAの成功が、QA や SA が依存する熱的または量子的フラクチュエーションとは異なり、建設的干渉に起因することを示すこと。
• これらのインスタンスにおいて、古典的アルゴリズムが効率的に解を発見できることを示し、訓練済みQAOA回路にエンタングルメントが存在しないことを示唆すること。

提案手法

• 著者らは、1ブロックQAOA（p=1）による正確な解法を可能にするスペクトル的性質に基づいて、最適化問題のクラスを定義した。
• 地面状態が特定の角度βとγを用いたQAOAによって決定的に得られる問題ハミルトニアンH_Pを構築した。
• SAとQAの重なり分布を分析し、低q値にピークが現れることを示し、両手法にとって困難なインスタンスであることを確認した。
• これらのインスタンスにおける完全に訓練されたQAOA回路が局所的ユニタリであることを証明した。これは、いかなるキュービット分割に対してもエンタングルメントが構築されていないことを意味する。
• スピンを反転させ、エネルギーを2πでモジュロ測定することでハミング距離の変化を追跡する古典的オракルベースのアルゴリズムを提案した。このアルゴリズムはN+1回のクエリで解を発見できる。
• 正確な重なり分布の計算を用いて、これらのインスタンスの困難さを検証した。その結果、QAやSAにおける困難な問題の既知のヒューリスティクスと整合した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QAOAは、QAおよびSAにとって証明的に困難な最適化問題を解くことができるか？
• RQ2 ハミルトニアンのどのスペクトル的性質が、1ブロックQAOAによる正確な解法を可能にするか？
• RQ3 QAやSAが広く使われているヒューリスティクスであるにもかかわらず、なぜこれらのインスタンスで失敗するのか？
• RQ4 QAOAが正確に解ける同じ問題を効率的に解ける古典的アルゴリズムが存在するか？
• RQ5 訓練済みQAOA回路にエンタングルメントが存在しないことは、問題の古典的可解性とどのように関係するか？

主な発見

• QAOAはp=1で正確に解ける問題のクラスを、決定的かつ正確に解ける。一方、QAとSAは同じインスタンスで指数的に小さい成功確率を示す。
• QAとSAの重なり分布は、低q値にピークを示し、両手法にとって困難であることが確認された。これは、QAやSAにおける困難な問題の既知のヒューリスティクスと一致する。
• これらのインスタンスにおける訓練済みQAOA回路は局所的ユニタリであるため、いかなるキュービット分割に対してもエンタングルメントが構築されておらず、古典的シミュレーションが可能であることを示している。
• ハミング距離の変化をエネルギー測定（2πでモジュロ）により追跡する古典的オラクルベースのアルゴリズムが存在し、N+1回のオラクルクエリで解を効率的に発見できる。
• この問題クラスは、p=1で正確に解けるインスタンスの完全性を有しており、干渉に基づく手法とフラクチュエーションに基づく手法との根本的差異を示唆している。
• これらの結果により、QAOAとQA/SAとの間の最初の境界線が確立され、QAOAの性能における量子干渉の独自の役割が浮き彫りになった。