[論文レビュー] Complete permutation polynomials induced from complete permutations of subfields

Baofeng Wu, Dongdai Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限体上の完全置換多項式を構成する一般的手法を提示する。部分体の完全置換を用い、ノルムおよびトレース写像を活用することで、拡大体における完全置換を生成する。多項式 $ xh(\mathrm{N}(x)) $ や $ x(h(\mathrm{tr}(x)) + a\mathrm{tr}(x)^{p^k-1} - a x^{p^k-1}) $ が拡大体で完全置換を誘導するための条件を確立し、最近の結果を一般化し、既知の部分体置換から体系的な構成が可能になる。

ABSTRACT

We propose several techniques to construct complete permutation polynomials of finite fields by virtue of complete permutations of subfields. In some special cases, any complete permutation polynomials over a finite field can be used to construct complete permutations of certain extension fields with these techniques. The results generalize some recent work of several authors.

研究の動機と目的

• 部分体の完全置換から、有限体上での完全置換多項式を構成する一般的手法を開発すること。
• ノルムやトレース写像といった代数的構造を活用することで、最近の完全置換多項式の構成を拡張すること。
• 補題 1.1 および体論的写像に基づく統一的枠組みを提供することで、既知の結果を一般化すること。
• 基本体における既存の置換から、拡大体における新しい完全置換多項式を体系的に生成できるようにすること。
• 完全置換多項式は一般の置換多項式よりもまれで複雑であるため、その構成の課題に取り組むこと。

提案手法

• Lemma 1.1 を用い、$ A = \mathbb{F}_{q^n} $, $ S = \bar{S} = \mathbb{F}_q $ および写像 $ \lambda = \bar{\lambda} = \mathrm{N} $ または $ \mathrm{tr} $ を設定することで、拡大体における置換と部分体における置換を関連付ける。
• ノルム写像 $ \mathrm{N}(x) = x^{(q^n-1)/(q-1)} $ を用いて、$ \mathbb{F}_q $ における完全置換多項式を $ \mathbb{F}_{q^n} $ に持ち上げる。条件は $ (n, q-1) = 1 $ である。
• トレース写像 $ \mathrm{tr}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{q^i} $ を用いて、$ \mathbb{F}_{q^n} $ における完全置換を構成し、特に $ \ker(\mathrm{tr}) $ の置換に注目する。
• 多項式のクラス $ x(h(\mathrm{tr}(x)) + a\mathrm{tr}(x)^{p^k-1} - a x^{p^k-1}) $ を導入し、$ xh(x) $ が $ \mathbb{F}_q $ 上で完全置換である場合、$ n $, $ p $, $ k $ に関する条件を満たせば、これが $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上で完全置換多項式であることを示す。
• $ p $-多項式 $ x^{p^k} - c x $ を用いて $ \ker(\mathrm{tr}) $ を置換し、$ c $ および体パラメータに関する十分条件を提示する。
• 文献 [7] の結果を応用し、特に $ p \nmid n $ かつ $ (n, p^{(k,r)}-1) = 1 $ の場合に $ \ker(\mathrm{tr}) $ の置換を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体上での完全置換多項式は、どのようにして部分体の完全置換から体系的に構成できるか？
• RQ2 多項式 $ xh(\mathrm{N}(x)) $ が $ \mathbb{F}_{q^n} $ で完全置換を誘導するための条件は何か？
• RQ3 トレース写像を用いて、拡大体で完全置換多項式を構成できるか？ その場合、基礎体および多項式構造に必要な条件は何か？
• RQ4 $ x^{p^k} - c x $ が $ \ker(\mathrm{tr}) $ を置換するのはどのような条件下か？ これにより新しい完全置換が構成可能となるか？
• RQ5 提案手法は、[4, 9, 16] における既存の構成をどのように一般化するか？

主な発見

• 定理 2.3 は、$ (n, q-1) = 1 $ の条件下で、$ xh(\mathrm{N}(x)) $ が $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上で完全置換多項式であるための必要十分条件を示しており、それは $ xh(x^n) $ が $ \mathbb{F}_q $ 上で完全置換多項式であることと同値である。
• 定理 3.9 は、トレース写像を用いた完全置換多項式の一般枠組みを提供する。$ xh(x) $ が $ \mathbb{F}_q $ 上で完全置換であり、かつ $ L(x) $ が $ \ker(\mathrm{tr}) $ 上で置換を誘導する必要がある。
• 系 3.12 は、$ p \nmid n $ かつ $ (n, p^{(k,r)}-1) = 1 $ の条件下で、$ c \in \mathbb{F}_q $ に対して $ x^{p^k} - c x $ が $ \ker(\mathrm{tr}) $ を置換することを示しており、$ c $ に関する弱い条件のもとで成り立つ。
• 定理 3.13 は、$ xh(x) $ が $ \mathbb{F}_q $ 上で完全置換であり、$ (k,n)=1 $, $ p \nmid n $, および $ (n, p^{(k,r)}-1)=1 $ を満たす場合、任意の $ a \in \mathbb{F}_q^* $ に対して $ x(h(\mathrm{tr}(x)) + a\mathrm{tr}(x)^{p^k-1} - a x^{p^k-1}) $ が $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上で完全置換多項式であることを示す。
• 補題 3.10 は、$ c^{n(q-1)/(p^{(k,r)}-1)} $ の値に依存する明示的な十分条件を提示し、$ x^{p^k} - c x $ が $ \ker(\mathrm{tr}) $ 上で単射（従って置換）を誘導することを保証する。
• これらの結果は [4, 9, 16] の構成を一般化しており、$ \mathbb{F}_q $ 上の任意の完全置換多項式を、提案された持ち上げ技法を用いて $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上の新しい完全置換多項式に変換可能であることを示している。