[論文レビュー] More Classes of Complete Permutation Polynomials over $\F_q$

Gaofei Wu, Nian Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Zieveの基準とトレース関数を用いて、有限体 𝔽_q 上の完全置換多項式（CPP）の新しいクラスを提示する。p=3および奇素数の場合のニホ指数を用いた単項式および多項式CPPを導入し、明示的な構成を提示する。トレースに基づく多項式変換を用いて、gcd 条件のもとで 𝔽_{p^{rk}} におけるCPPの新たな十分条件を証明し、既存の結果を一般化する。

ABSTRACT

In this paper, by using a powerful criterion for permutation polynomials given by Zieve, we give several classes of complete permutation monomials over $\F_{q^r}$. In addition, we present a class of complete permutation multinomials, which is a generalization of recent work.

研究の動機と目的

• 有限体 𝔽_q 上の既知の完全置換多項式（CPP）のクラスを拡張すること、特に f(x) と f(x)+x が両方とも置換である場合に注目する。
• 最近のCPPに関する結果を一般化し、トレース関数と係数条件に基づく新しい多項式構成を導入すること。
• r, p, p−1 に関する特定の gcd 約束の下で、𝔽_{p^{rk}} 上の単項式および多項式CPPの十分かつ必要条件を提供すること。
• ニホ指数とディクソン多項式に関する先行研究を統合・一般化し、完全置換の文脈で統一すること。
• 拡張体上でのZieveの基準と多項式合成技術を用いたCPPの構築フレームワークを確立すること。

提案手法

• 置換多項式のためのZieveの基準を活用し、加法的特徴関数とウォルシュ変換を用いて置換性を検証する。
• 文献[28]の補題4を適用し、f(x) = x^l g(x^{(p^n−1)/(p^k−1)}) の形でCPPを構成する。ここで、gcd(l, (p^n−1)/(p^k−1)) = 1 かつ 係数積が 𝔽_{p^k} 上で置換であることが必要である。
• トレース関数 Tr_k^n(x) = ∑_{i=0}^{r−1} x^{p^{ik}} を用いて、𝔽_{p^{rk}} 上の多項式CPPを係数を 𝔽_{p^k} にとった形で定義する。
• 一般化された構成 f(x) = x( (a/v)g(Tr_k^n(x)) + Tr_k^n(x)^{p−1} ) + (p−1)x^p + ax を導入する。ここで g は、𝔽_{p^k} 上で xg(x) + vx が置換多項式（PP）となるように選ばれる。
• 体自己同型およびトレースの対称性の性質を用いて、置換条件を基本体の条件に還元し、帰納的構成を可能にする。
• トレース恒等式の代数的変形と乗法的位数の議論を用いて結果を検証する。特に、f(x)=f(y) ならば x−y ∈ 𝔽_{p^k} であることを示し、gcd 条件のもとで x=y が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p=3 かつ d=3^k+2 のとき、𝔽_{3^{2k}} 上で ax^d が完全置換多項式（CPP）であるのはどのような指数 d に対して成り立つか？
• RQ2 奇素数 p と 1≤i≤n に対して、𝔽_{p^{2k}} 上で d = (p^k−1)(p^i−1)/2 + p^i が CPP 指数である条件は何か？
• RQ3 r=4,6 および p=3,5 のとき、𝔽_{p^{rk}} 上で f(x) = x^{(p^{rk}−1)/(p^k−1)} + 1 が CPP である条件は何か？
• RQ4 a ∈ 𝔽_{p^k}∖{0,−1} のとき、𝔽_{p^{rk}} 上で f(x) = x(Tr_k^n(x))^{p−1} + (p−1)x^p + ax が CPP である条件は何か？
• RQ5 𝔽_{p^k} 上のディクソン多項式または他の置換多項式（PP）を、トレースに基づく構成を用いて 𝔽_{p^{rk}} 上の新しいCPPを生成するにはどうすればよいか？

主な発見

• p=3 かつ n=2k のとき、d=3^k+2 は 𝔽_{3^{2k}} 上でCPP指数である。これは、先行研究とは異なる手法により証明された。
• 任意の奇素数 p と n=2k に対して、1≤i≤n のとき、d=(p^k−1)(p^i−1)/2 + p^i は 𝔽_{p^{2k}} 上でCPP指数である。
• r=4 のとき、a^{-1}x^d が 𝔽_{p^{rk}} 上でCPPであるための必要十分条件が導出された。ここで d=(p^{rk}−1)/(p^k−1)+1 かつ a∈𝔽_{p^k}^* である。
• r=6 かつ p=3 もしくは 5 のとき、gcd(r,k)=1 ならば、d=(p^{6k}−1)/(p^k−1)+1 は 𝔽_{p^{6k}} 上でCPP指数である。
• 多項式構成 f(x) = x(Tr_k^n(x))^{p−1} + (p−1)x^p + ax は、gcd(p−1,r)=1 かつ gcd(r,p)=1 かつ a∈𝔽_{p^k}∖{0,−1} のとき、𝔽_{p^{rk}} 上でCPPである。
• この構成は [21] を一般化し、[22] を拡張する。g(x)=x^{d−1} を用いた既知のCPP指数 d および次数5のディクソン多項式を用いた明示的例が提示される。