[論文レビュー] Complete sums of products of (h,q)-extension of Euler numbers and polynomials

Yılmaz Şimşek|ArXiv.org|Jul 19, 2007

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、フェルミオン的 p-進 q-ボルケンボルン積分を用いて、Euler多項式および数の高次元 (h,q)-拡張を導入し、多項係数と複数変数を含む積の完全和の公式を導出する。主な貢献は、多変数 (h,q)-Euler多項式が低次の多項式の積と関連する一般化された恒等式を確立することであり、EulerおよびBernoulli多項式に関する古典的結果を (h,q)-枠組みへと拡張し、p-進解析および特殊関数への応用を含む。

ABSTRACT

In this paper we investigate some interesting of the (h,q)-extension of Euler numbers and polynomials. Finally, we will give some relations between these numbers anf polynomials

研究の動機と目的

• p-進 q-積分を用いて、Euler多項式および数の高次元 (h,q)-拡張を構築すること。
• 複数変数における (h,q)-Euler多項式の完全和の積の恒等式を確立すること。
• 多項係数関係と p-進積分を用いて、EulerおよびBernoulli多項式に関する古典的結果を (h,q)-枠組みへと一般化すること。
• フェルミオン的 p-進 q-ボルケンボルン積分を用いて、(h,q)-Euler数および多項式の新しい恒等式と母関数を提供すること。

提案手法

• フェルミオン的 p-進 q-ボルケンボルン積分を用いて、(h,q)-Euler多項式および数の母関数を構築する。
• 多項定理および多項係数の恒等式を適用し、多変数多項式表現を分解する。
• Wittの公式および (h,q)-Euler数の分布関係を用いて、積分表現を導出する。
• ℤ_p 上の p-進不変 q-積分を用いて、(h,q)-Euler数および多項式を定義・操作する。
• E_{n,q}^{(h,v)}(y₁+⋯+yᵥ) について、E_{l_j,q}^{(h)}(y_j) の積としての一般化された多項係数恒等式を導出する。
• 記号計算および母関数技法を用いて、(h,q)-Euler多項式を含む恒等式の検証および一般化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして (h,q)-Euler多項式の完全和の積が高次元多変数ケースへ一般化できるか？
• RQ2 フェルミオン的 p-進 q-ボルケンボルン積分は、(h,q)-Euler数および多項式の母関数を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 多項係数および多項係数展開は、高次元 (h,q)-Euler多項式の構造とどのように関係するか？
• RQ4 EulerおよびBernoulli多項式に関する古典的完全和恒等式は、(h,q)-枠組みへと拡張可能か？
• RQ5 導出された恒等式は、負の整数における (h,q)-Euler数の補間にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 本稿では完全和の積の恒等式を確立した：E_{n,q}^{(h,v)}(y₁+⋯+yᵥ) = ∑_{l₁+⋯+lᵥ=n} (n; l₁,…,lᵥ) ∏_{j=1}^{v} E_{l_j,q}^{(h)}(y_j)，ここで多項係数が使用されている。
• この恒等式は h=1 かつ q→1 のとき、古典的Euler多項式の和に還元され、既知のEuler多項式の結果が回復される。
• 導出された恒等式は、p-進 q-ボルケンボルン積分およびWittの公式を用いて証明され、積分表現と多項式恒等式が結びつけられる。
• フェルミオン的 p-進 q-ボルケンボルン積分を用いて、高次元 (h,q)-Euler多項式の新しい母関数が構築された。
• 本稿は、以前の (h,q)-BernoulliおよびEuler多項式に関する結果を一般化し、多変数および高次元設定へと拡張した。
• 系2では、(h,q)-Eulerおよび (h,q)-Bernoulli多項式を含む混合恒等式が確立され、異なる特殊多項式族の間の関係が示された。