[論文レビュー] Complex Ashtekar variables, the Kodama state and spinfoam gravity

Wolfgang Wieland|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 44被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、複素Ashtekar変数と実数のBarbero–Immirziパラメータを用いたスピン泡沫重力モデルを提案し、ハミルトニアン制約の形式的解として$SL(2,\mathbb{C})$のKodama状態を導入する。$SL(2,\mathbb{C})$境界スピンネットワーク状態を有限次元表現で構築し、チェーン・シンモンズ期待値を用いて頂点振幅を定義し、スキーン関係式を導出する。また、現実性条件の課題に対して、ゲージ群の$q$-変形の可能性を検討する。

ABSTRACT

Starting from a Hamiltonian description of four dimensional general relativity in presence of a cosmological constant we perform the program of canonical quantisation. This is done using complex Ashtekar variables while keeping the Barbero--Immirzi parameter real. Introducing the SL(2,C) Kodama state formally solving all first class constraints we propose a spinfoam vertex amplitude. We construct SL(2,C) boundary spinnetwork functions coloured by finite dimensional representations of the group, and derive the skein relations needed to calculate the amplitude. The space of boundary states is shown to carry a representation of the holonomy flux algebra and can naturally be equipped with a non-degenerate inner product. It fails to be positive definite, but cylindrical consistency is perfectly satisfied.

研究の動機と目的

• 4次元重力の正準量子化を複素Ashtekar変数を用いて再表現し、ループ量子重力における$SL(2,\mathbb{C})$から$SU(2)$への変数の移行を逆転させること。
• $SL(2,\mathbb{C})$のKodama状態に基づくスピン泡沫頂点振幅の構築。これは現実性条件に反するが、ホワイトマン＝デウィット方程式を形式的に解く。
• 有限次元$SL(2,\mathbb{C})$表現を用いた境界スピンネットワーク状態の定義。この状態はホロノミー・フラックス代数の表現を担い、非退化で不定な内積を持つ。
• $q$-変形が有限次元表現における現実性条件との不整合を解消するメカニズムとしての可能性を検討する。
• 有限次元表現とミンコフスキー空間重力、現実性制約を両立させる新しいスピン泡沫モデルの基盤を築く。

提案手法

• 宇宙定数を含む4次元重力の形式的正準量子化を、複素Ashtekar変数と実数のBarbero–Immirziパラメータを用いて行う。
• $SL(2,\mathbb{C})$のKodama状態をハミルトニアン制約の形式的解として構築し、ホワイトマン＝デウィット方程式の簡略化を保つ。
• $SL(2,\mathbb{C})$境界スピンネットワーク関数を、群の有限次元表現で彩色し、ホロノミー・フラックス代数の表現を形成する。
• 境界状態の空間に非退化で不定な内積を導入し、正、負、ゼロのノルム状態を許容する。
• スピン泡沫頂点振幅を境界スピンネットワークのチェーン・シンモンズ期待値として計算し、最低スピン表現におけるスキーン関係式を導出する。
• $q$-変形が有限次元表現における現実性条件との不整合を解消する可能性があると仮説を立て、一貫した量子理論を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 現実性条件に反するにもかかわらず、$SL(2,\mathbb{C})$のKodama状態はスピン泡沫重力における有効な頂点振幅として機能できるか？
• RQ2 有限次元$SL(2,\mathbb{C})$表現を用いて、非退化内積を持つ一貫した境界状態空間を構築できるか？
• RQ3 $SL(2,\mathbb{C})$の$q$-変形は、有限次元スピンネットワーク状態の文脈において現実性条件を解消する有効なメカニズムか？
• RQ4 この形式的枠組みにおいて、交差する Knot に対する面振幅と正則化を一貫して定義できるか？
• RQ5 有限次元表現を用いたこのモデルと、無限次元 Lorentz 群表現に基づく既存のスピン泡沫モデルとの関係は何か？

主な発見

• $SL(2,\mathbb{C})$のKodama状態は、実数のBarbero–Immirziパラメータを有する複素Ashtekar変数において、ハミルトニアン制約方程式を形式的に解き、ホワイトマン＝デウィット方程式の簡略化を保つ。
• 有限次元$SL(2,\mathbb{C})$表現に基づく境界スピンネットワーク状態は、ホロノミー・フラックス代数の表現を形成し、非退化で不定な内積を持つが、ヒルベルト空間ではない。
• 頂点振幅は非交差ループのチェーン・シンモンズ期待値として定義され、最低スピン表現におけるスキーン関係式が導出された。
• 提案された有限次元境界状態において、現実性条件は直感的な方法では満たせないが、$q$-変形により制約方程式が変更され、解決の可能性がある。
• この枠組みは、有限次元表現とミンコフスキー空間重力の両立への道筋を示唆しており、$SL(2,\mathbb{C})$の量子変形が円筒整合性を保つ可能性がある。
• このモデルは、運動論的構造においてループ量子重力と一貫しているが、Kodama状態の物理的解釈および現実性条件の役割は未解決の問題のままである。